量子世纪的创世余晖——读冯·诺依曼《量子力学的数学基础》｜展卷

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惟愿潜心读者深入冯·诺依曼的“间接言说”，去真切见识那个“激动人心的年代”。

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Durch den ganzen logischen Apparat hindurch sprechen die physikalischen Gesetze doch von den Gegenständen der Welt.

物理规律借助其全部的逻辑机制间接地言说世界中的对象。

——维特根斯坦，《逻辑哲学论》（Logisch-Philosophische Abhandlung）

撰文 | 李轻舟

重视并探讨物理学在表述中呈现出的形式结构及其意义是牛顿创立经典力学体系以来的传统。一般地，表述物理学所依赖的载体主要分为两种：第一种是自然词汇组成的陈述性语句；第二种是数学符号组成的形式表达式。以前者为主要表述方式的物理学文献集中出现在亚里士多德到牛顿时代。大约从拉格朗日、拉普拉斯开始，符号表达式逐渐取代了自然语句成为了物理学的主要表述方式。

无论是自然词汇的陈述语句，还是数学符号表达式，本质上都可归类于形式逻辑的命题。这些命题依靠相互之间的逻辑关系组成系统，即物理学在表述中呈现出的形式结构。我们通过这套形式结构逻辑地或数学地刻画物理学的概念，而概念指向了物理世界中的客观实在，从而“间接地言说”物理世界，如同爱因斯坦、波多尔斯基、罗森在“EPR”^[1]中指出的那样：“这些概念对应于客观实在，而我们通过它们向自己描绘了实在。”

历史上，物理学家对形式及其意义的兴趣可以从麦克斯韦的一段经典论述中得到验证。在著名的电磁理论文献《论法拉第的力线》^[2]中，麦克斯韦明确指出了形式（数学表达式）的重要性，他说：“为了获得不依赖固有理论的物理学新概念，我们必须善用物理类比。所谓物理类比，是指利用科学规律之间的局部相似性，用它们中的一个去说明另一个。因此，所有的数理科学要建立在物理学规律与数学规律之间关系的基础之上，所以精密科学的目的在于将自然界的难题以数的手段还原为量的判断。通过最普遍的类比到极小的局部，我们发现正是两种不同现象相同的数学表达形式催生了光的物理学理论。”

图1 逻辑原子论的代表人物：罗素（B. Russell）与维特根斯坦（L. Wittgenstein）

随着分析哲学中“逻辑原子论”（logical atomism）的一度兴盛以及数学或物理学中“物理学公理化”（mathematical treatment of the axioms of physics）运动的推进，对物理学形式结构的探讨已经取得了长足的进展。20世纪初才正式进入人们视野的物理学公理化，其实一直是经典物理学的一个潜在的历史传统，它可以追溯到牛顿在《自然哲学之数学原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, 1687）中对欧氏几何学的“模仿”，哥德尔曾经评论道^[3]：“物理学家对公理化方法缺乏兴趣，就像一层伪装：这个方法不是别的，就是清晰的思维。牛顿把物理学公理化，因而把它变成了一门科学。”

图2 在普林斯顿漫步的爱因斯坦与哥德尔（K. Gödel）。哥德尔与著名的“维也纳学派”（Wiener Kreis）过从甚密，该学派深受马赫、罗素和维特根斯坦思想的影响。

然而，物理学公理化在世纪之交被正式提出来并受到一定程度的重视，完全得益于一场由数学家或者说数学物理学家发起的物理学公理化运动。1900年，希尔伯特在第二届国际数学家大会上宣读了题为《数学问题》（Mathematical Problems）^[4]的著名演讲。在这篇演讲中，希尔伯特向当时的数学界提出了23个有待深入研究的基础数学方向或难题，合称“希尔伯特问题”。其中第6个问题，即“物理学的公理化”，希尔伯特对此的阐述是：“对几何学基础的探讨暗示了这样一个问题：可以借助公理且运用相同的方法处理数学在其中扮演着重要角色的物理科学；首要解决的便是概率论和力学。”在给出一些路线上的提示后（比如马赫、赫兹、玻尔兹曼等人的方法），希尔伯特进一步强调：“此外，数学家的责任是在每个实例中严格检验这些新公理是否与旧的相容。物理学家，当理论取得进展时，经常发现自己为实验结果所迫而去构造新的假设，为了使这些新假设与旧的公理相容，他不得不依赖这些实验或某些物理直觉，而这种经验在理论的严格逻辑构建中是不被允许的。对我来说，令人满意地证明所有假设的相容性同样很重要，因为获得每一个证明的努力总会最有效地迫使我们达到一个严格的公理表述。”虽然，希尔伯特对形式系统公理相容性证明（在所谓“超限公理”的约束下）的预期最终被哥德尔证明为不可能（涉及希尔伯特第2问题“算术公理系统的相容性”、“希尔伯特形式主义纲领”和“哥德尔不完备性定理”），但物理学公理化的号召还是得到了相当可观的积极响应。在随后30多年时间里，这场运动取得了四项进展：1909年，哈梅尔（G. Hamel）在分析力学的基础上实现了力学的公理化^[5]。同年，卡拉西奥多里确立了公理化热力学的基础^[6]。1932年，冯·诺依曼出版了《量子力学的数学基础》（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik），该文献被视为遵循希尔伯特路线的一个量子力学公理化范本。1933年，柯尔莫哥洛夫出版了《概率运算的基础》（Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung），建立了严格的公理化概型，概率论实现了公理化乃至“数学化”。

图3 希尔伯特（D. Hilbert）、卡拉西奥多里（C. Caratheodory）与柯尔莫哥洛夫（А. Н. Колмогоров）

20世纪20年代以降，量子力学由初创阶段转向纵深发展，冯·诺依曼的量子力学公理化为量子力学的哥本哈根诠释提供了一个符合希尔伯特期待的数学基础。1930年，狄拉克在《量子力学原理》（The Principles of Quantum Mechanics）中给出了量子力学（包括发表于1925年的矩阵力学和1926年的波动力学）的统一数学表述形式。在《量子力学的数学基础》中，冯·诺依曼首先肯定了狄拉克的尝试，但同时指出了其在数学严密性上的不足（比如δ函数的引入）。基于外尔向量空间的公理体系（见《空间、时间、物质：广义相对论讲义》，Raum, Zeit, Materie :Vorlesungen über allgemeine Relativitätstheorie, 1918），冯·诺依曼为量子力学的传统表述（即哥本哈根诠释）赋予了一个新的数学结构——希尔伯特空间，并在该空间中展开厄密算符理论作为量子力学的数学基础。

图4 外尔（H. Weyl）、狄拉克（P. Dirac）与冯·诺依曼（John von Neumann）

在外尔公理系中，可以定义内积诱导范数的赋范空间。对一个内积诱导范数的赋范空间 H，是一个点列，若满足如下条件：

则称{x_n} 是 H 中的一个基本列或柯西列。若 H 中每一个柯西列都收敛于 H 中的点，即

则称 H 具有完备性。这样一个完备的内积诱导范数的赋范空间，即希尔伯特空间。

另一方面，对一个向量空间 L ，若

则称 B 为 L 的哈梅尔基，记为 L=spanB 。若 L 为赋范空间，可将x及其聚点构成一个闭包。若这个闭包等于 L，则称 B 为 L 的完全基，记为  。特别地，若 B 可列，则

此时 B 为 L 的肖德尔基。在内积空间中，可以为 B 中元素加上互为正交归一的条件。

综上，冯·诺依曼使用的希尔伯特空间就是一个存在正交归一化肖德尔基的完备内积空间。由于肖德尔基的存在，这个空间是无穷维的，即无穷维希尔伯特空间。

冯·诺依曼把无穷维的希尔伯特空间作为量子力学的相空间或态空间。这就引出了冯·诺依曼公理系的第一公理，它可被表述为：

公理I. 量子力学的态函数 Ψ 为希尔伯特空间的元素。

这条公理在物理上陈述了薛定谔的波函数，其所有物理性质都可以由希尔伯特空间的数学结构准确地刻画。对所选定的特定表象，Ψ 展开的本征态函数即希尔伯特空间中的肖德尔基。

在希尔伯特空间上，定义映射  的线性算符 T ，其定义域 D(T) 在 H 中稠密，则伴随运算  中， T⁺可由下式定义：

D(T⁺) 为所有 f∈H ，，故 z=T⁺f 。若 ，称 T 为对称算符；若 T=T⁺，则称 T 为自伴随算符。如果  则称算符 T 具有连续性，连续的自伴随算符就是厄密算符。这就可以引出冯·诺依曼公理系第二公理，表述为：

公理II. 经典力学量存在对应的厄密算符。算符记为 ，且 

称常量 λ 为  的本征值， ψ 为  的本征函数并组成该算符的完全系 。

冯·诺依曼公理系中还有一个类似牛顿第二定律地位的公理，其数学表述即著名的薛定谔方程：

公理III.  Ψ 满足薛定谔方程

 为哈密顿量对应的哈密顿算符。

根据这两个公理，我们可以很方便地导出定态薛定谔方程等一系列重要结论。公理III的数学表述形式是在薛定谔工作上展开的，它表征了波函数连续的演化过程，但并没有刻画波函数在测量条件下的坍缩机制。对这个机制的表述可以归纳为冯·诺依曼公理系第四公理：

公理IV. 对经典力学量 F 测量，所得平均值

任意一次测量所得值为本征值 λ_n，概率为|c_n|²。

公理IV实际上陈述了波函数在实验中的物理意义，涉及玻恩的波函数统计解释以及颇具争议性的测量问题（测量主体与客体交互过程中的波函数坍缩）。

除了粒子全同性原理和自旋假设外，冯·诺依曼公理系涵盖了非相对论性量子力学的全部基本规律。从该公理系出发，冯·诺依曼在更严格的意义上证明了矩阵力学和波动力学两种表述方式的数学等价性，并且通过证明现行量子力学理论体系不存在定域隐变量，在一定程度上支持了玻尔一派期望的量子力学“完备性”。冯·诺依曼公理系及其定域隐变量不存在的证明影响了后来玻姆、贝尔等人对量子力学基础的考察，而他为之建立起来的数学体系和方法也促进了现代泛函分析的发展。

图5《量子力学的数学基础》扉页（1932年德文原版与1955年英译版）

笔者曾对这种“间接言说”的“语言”本身——物理学的理论表述形式——抱有浓厚兴趣。大约十年前，在撰写学士学位论文期间，藉由梳理物理学公理化历史，笔者第一次获知量子世纪的“创世余晖”——《量子力学的数学基础》。为了更方便地阅读，笔者专门托在北大数学系就读的友人去北大图书馆搜寻，幸而找到了1955年的英译本（Robert T. Beyer译，普林斯顿大学出版社出版）。友人将原书复印装订成册，千里迢迢寄送到我手中，使我有机会直面20世纪顶级的天才大脑......老实讲，那不是什么轻松的阅读体验，文章完成，也就相忘于江湖了。所谓“浮云一别后，流水十年间”，未曾想科学出版社近日推出了这部名著的中译本（凌复华译，李继彬校），编辑朋友为督促我学习，第一时间寄来了新书。旧书重读如老友重逢，奈何岁月蹉跎，学问无所长进，率尔操觚，惟愿潜心读者深入冯·诺依曼的“间接言说”，去真切见识那个“激动人心的年代”（狄拉克语）。

参考文献

[1] A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen. Can Quantum-Mechanics Description of Physical Reality Be Considered Complete? [J]. Phys. Rev., 1935, 47. [2] J. Maxwell. On Faraday’s Lines of Force[J]. Transactions of The Cambridge Philosophical Society,1855,10. [3]  H. Wang（王浩）. 逻辑之旅：从哥德尔到哲学[M]. 邢滔滔、郝兆宽、汪蔚，译.杭州：浙江大学出版社，2008.[4] D. Hilbert. Mathematical Problems[J]. BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, 2000, 37(4). [5]  G. Hamel.Über die Grundlagen der Mechanik[J]. Mathematische Annalen, 1909, 66. [6]  C.Caratheodory.Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodznamik[J]. Mathematische Annalen, 1909, 67. 
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