滴水映照大海：一元二次方程里的深刻学问 | 贤说八道

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自巴比伦人给出一元二次方程的解3600多年后，或者自拉格朗日思考代数方程的对称函数约250年后，或者自伽罗华发展出伽罗华理论约200年后，俺们这里多项式方程还被错误地教着，一元二次方程的形式解 从未被正确地写出来过，甚至连大学生都不学一元三次方程的解，想来真让人欲哭有泪。

撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）

一元二次方程 x²+bx+c=0 的通解为 ，这个知识点在初中就教过。一些教科书还会进一步引申，谓当b²-4c＜0时，有负数开根号的问题，并给出 ，i被称为单位虚数。其实，就虚数问题而言，这里就包含着历史的错误和理解的错误。就历史而言， 不是在解一元二次方程时被引入的，而是在解一元三次方程 x³+px+q=0遭遇对 开平方根时才不得不引入的。再者， 是偏颇的。，强调同时，可能才是正确的，薛定谔1922年改造外尔在“引力与电”一文中引入的长度尺度因子所建议的公式中坚持使用  而不是i，可能就有这一层考虑。这些都放过一边，本篇单谈群论眼光下的代数方程。在学习了一些群论基础以后，用群论的眼光回头看代数方程，会看到不一样的风景。

首先，就有理数域上的代数方程 xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n=0 来说，这是一个有结构的形式，其中出现的算法是“乘法”和“加法”。换个角度看，方程左侧可以看作是n+1维矢量（xⁿ，x^n-1，…，x，x⁰）同矢量（1，a₁，…，a_n-1，a_n）之间的内积。右侧为零，即这样的两个n+1维矢量是正交的。我们看到，可解方程的根（x₁，x₂，…，x_n）是系数的有理函数同方程xⁿ=1的根之间的内积。请读者记住，多项式方程，系数有正负，但是算法只有“乘法”和“加法”，这一点对于理解代数方程和构建代数方程的理论很重要。代数方程的语境中没有“减法”。

根据代数基本定理，当我们把方程系数和根都推广到复数域上时，方程 xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n=0 有n-个复数根。方程的n-个根就理解方程的各种性质而言，它们是等价的、不可区分的，这样容易由它们构成对称函数。对称性是代数方程理论的一个关键词。

拉格朗日引入了对称函数的概念。记方程的n-个根为（x₁，x₂，…，x_n），则原方程形式为 。笔者额外定义 (x₁，x₂，…，x_n) ⁽⁰⁾=1，由此可得对称函数

这个对称函数很有趣，将根作置换，函数值不变！连笔者定义的 (x₁，x₂，…，x_n) ⁽⁰⁾=1 算上，你看式子左边的项数为 1，n, n(n-1)/2,…, n(n-1)/2, n, 1, 是二项式 (加法与乘法的精义) 展开 (x+y)ⁿ 的系数 。将不同n对应的系数，即对于不同阶的多项式方程，从上到下摞起来，可得到杨辉三角 (西人称为帕斯卡三角) 。右边是方程的系数，但前面多了个因子 (-1)^m，排列起来是 ，负号是交替出现的。你看，置换、交替的概念很重要，很自然地出现在方程理论中。

这里体现的哲学思想是，代数方程是个有结构的存在；解是等价的，可以构成对称函数，在置换下是不变量；方程的根可以用待求的根来表示，根之间的关系会指向方程的可解性问题。举例来说，一元二次方程 (x-x₁)(x-x₂)=0，对应方程 x²+bx+c=0 ，其中 b=-(x₁+x₂)，c=x₁x₂，故而解形式为。方程规定了解写成解之函数的形式！因此，方程可解性的研究着落在方程的结构/解的结构的研究上。

拉格朗日引入用根表示的有理函数 R(x₁，x₂，…，x_n)，不同于对称函数，其随根的置换可以有不同的值。若k<n，则多项式方程 (x-x₁)(x-x₂)…(x-x_k)=0 可作为辅助的解式方程。此方法对三次、四次方程有效，但是对五次方程无效。关键点是，有理函数R(x₁，x₂，…，x_n)的构造无章法可循。注意，解式方程是一个重要概念。

1826年，阿贝尔宣称不是所有的五次方程都有有限根式解。阿贝尔发现，能用根式求解的代数方程 (其实就是二次、三次和四次方程)，根的根式解表达都是方程系数和单位根凑成的有理函数。伽罗华把方程可解性的问题转化为具体方程的置换群及其子群结构的问题。笔者以为，应该是“有限根式意味着什么”的问题。紧接着的伽罗华理论宣称，一个代数方程有有限根式解，当且仅当它的伽罗华群是可解的。

每一个方程，都和一个根的置换群相联系，现在称之为伽罗华群。伽罗华群体现根的对称性。对于任意一个取有理数的关于根的多项式函数，伽罗华群中的置换都使得该函数的值不变。伽罗华将每一个方程对应一个数域，一个包含全部根的域，这个域又对应伽罗华群。一个方程是否可解的关键， 是方程的系数域可否经过有限次根号运算扩张成根域 (比如方程 x²-2=0 的系数是整数1， 0， -2，但是根是无理数)。

伽罗华理论的第二个关键概念是正规子群。对于一个群，找到其最大正规子群，确定其最大正规子群的合成列，如果一个群的最大正规子群 (商群是单群) 合成列的因子都是素数 (意味着相应的商群都是循环群，其可由一个群元素的幂得到。幂的逆运算就是开方！) 的话，这样的群是可 (分) 解群。这意思是，总可以通过开方进入下一层面。伽罗华提出了群的概念，研究群的结构，从群的结构研究方程的可解性。伽罗华理论未能被及时接受，是因为他的理论超前于他的时代。同时代无人能领会的创造，才算得上真正的天才创造。伽罗华理论涉及群和域，群只有乘法，域有乘法和加法，这正好是代数方程的精髓。愚以为，研究代数方程可解性，应看到解方程是拼接可能的解的幂 ，同有理系数构成的矢量，成正交关系。

粗略地说，一般n-次代数方程对应置换群 S_n。置换群中 S_n 的置换可以分为偶置换 (由偶数次邻位对换得到) 和奇置换，其中偶置换构成群，称为交替群 (alternating group) A_n。交替群 A_n是置换群 S_n的最大正规子群。对于n≥5，A_n都是单群。这样合成列的因子不是素数，群不是可解的，相应的方程不是可解的。以五次方程为例，置换群合成列为 ，而群A₅的元素数为60，不是素数，故商群  不必是循环群。一元五次方程没有有限根式解，即俗话说的五次方程不可解。

代数方程的性质都在方程的伽罗华群里了。伽罗华引入了自共轭子群 (正规子群) ，把群分成单群和复合群。一个可解群，其最大正规子群合成列中，子群阶数之商为一素数。也就是说，商群必是一个素数阶群，而素数阶群必为循环群。可解群中的正规子群关于上一级正规子群的所有陪集必须为一个循环群。循环群是阿贝尔群，用一个生成元通过乘方 (逆运算就是开方) 就能表示。合成列的最后一个对象是单元素群，这说明借助循环群这表示是一路乘方 (开方) 进行下去的，代数方程可解性的关键就在这里。

自巴比伦人给出一元二次方程解3600多年后，或者自拉格朗日思考代数方程对称函数约250年后，或者自伽罗华发展出伽罗华理论约200年后，多项式方程还被错误地教着，一元二次方程的解从未被正确地写出来过，甚至连大学生都不学一元三次方程的解，想来真让人欲哭有泪。

本文节选自曹则贤著《云端脚下-从一元二次方程到规范场论》（尚未出版）

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