神州帽子何其多｜量子多体中的呐喊与彷徨之五

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在一段悠然慵懒的岁月里，作者一边进行量子蒙特卡洛计算，一边读着二十四史。在量子多体中的呐喊与彷徨中看到了一丝曙光，也在历史的回味与反思中看到当今科研体制下的无奈与坚忍。“学者的贡献在于发扬真理，脱心志于俗谛之桎梏，在于铸造后起的头脑，不在于自己头上有多少帽子。”

林风眠《火烧赤壁》

撰文 | 孟子杨

南 方

有两年时间吧，我在美国南方密西西比河畔的一个大学城工作，每天看着河边水沟中的晒太阳的小鳄鱼，看着种植园般的小区边、学校里爬满藤蔓的大橡树。日子慢悠悠地过去，就连作为美国主要水路的密西西比河，到了就要进入墨西哥湾的下游，白天里也只是零零星星开过几艘货船。这里夏天闷热潮湿，冬天暖风和煦，此处的 African American 兄弟们，虽然也人高马大、身材健硕，却慢悠悠地待人和善，说话带着温和的南方口音，不像他们在北方大城市的同胞那种 hood 里带出来的强横。这里的风物完全满足了我之前从书本中看到的美国南方那种已经逝去的生活方式，那种乡愁的想象，就是福克纳、田纳西·威廉姆斯所营造的世界，种植园、沼泽地、爵士乐、潮湿、神秘、善良却多少有些神经质的人们。

就是在这样的地方，美则美矣，慢则慢矣，但是却时时感到孤独。我一边思考着如何把团簇动力学平均场 Hubbard model 计算从正方晶格扩展到三角晶格，用大规模计算的方法研究纯粹的金属-绝缘体临界莫特相变；一边品味着远离自己文化的孤独，毕竟连中文书都很少见到，在完全陌生的环境中看着生命一天天平静地过去。真好像诗中说的：

看样子是就这样下去了

平日里什么乐子也没有

除非在街上吃碗馄饨

有时，人生真不如一行波德莱尔

有时，波德莱尔真不如一碗馄饨

——木心《小镇上的艺术家》

这里是连馄饨都没得吃的。有一天实在穷极无聊，我在等待蒙特卡洛计算结果的间隙跑到大学图书馆里盘桓，竟然在某个无人问津落满尘土的书架上看到了中华书局上世纪70年代出版的竖排二十四史中的《宋书》《南齐书》《梁书》和《陈书》。谁能想到，在这样偏远的美国南方，一个和中国文化没有任何交集的地方，竟然有人大发善心地为图书馆买来了如此硬核的中国文化。不是什么《史记》《汉书》这样通行的经典，而是颇为小众的宋齐梁陈，南朝烟雨。这让已经被美国南方的暖风熏到精神迟钝的我足足傻站在书架前有一分多钟，大脑中的逻辑程序怎么都调不通，不能理解这些铁幕之下红色中国的硬核出版物是怎么远涉重洋来到世界的这个角落的。一分钟后回过神来，先定睛看看落地窗外的大橡树，它还在那里，遂确定没有发生时空错乱，然后也不管这些绿皮、硬壳、竖排的史书是怎么流落到此地的，一把抱起它们借出来带回家据为己有，生怕有人和我抢似的。其实我可能是几十年来第一次借这些书的人。

从此之后好一段时间，我的思维就被分散在三角晶格 Hubbard model 的金属-绝缘体相变和宋齐梁陈的生死倏忽与朝代更迭之中。随着工作和阅读的深入，我发现虽然结果都在向着好的方向前进，但不断地思考和体会的同时，我的心情从最初的欣喜慢慢变得沉重起来，影响直到今天。

近 似

先说三角晶格中的莫特转变吧，这个是强关联系统中一个公认的难题。三角晶格 Hubbard model 在相互作用弱的时候有一个接近圆形的费米面，没有如正方晶格中半满的时候反铁磁 （pi,pi）nesting 波矢的不稳定性，是一个理想的费米液体；而在相互作用十分强的时候，因为电子电荷自由度被冻结，Hubbard model 退化为三角晶格上的反铁磁 Heisenberg model，而这个模型的基态为非共线的 120度长程序反铁磁绝缘体。那么一个显而易见的问题就是，随着Hubbard U的增加，费米液体金属是怎么过渡到反铁磁长程序绝缘体的？

这个看似简单的问题其实到现在还没有公认的结果。解析计算对于这样的量子多体问题，目前看起来只能理解弱相互作用时的费米液体金属和强相互作用的反铁磁绝缘体。数值计算的量子蒙特卡洛面临符号问题，无法得到热力学极限的结果。在当时市面上的数值计算方法中，还有一种叫团簇动力学平均场，是运用量子蒙特卡洛求解器首先严格求解一个小的团簇，比如4、8、16这样的格点数，然后再将如此求得的自能和格林函数用自洽方程的方式，与热力学极限下的环境做迭代计算——将团簇上电子多体相互作用的效果传递给环境，将环境无穷大的晶格信息反馈给团簇。如此迭代以至于收敛，在自能和格林函数的戴森方程的层次上可以得到系统的一个近似的解，并且在形式上克服蒙特卡洛晶格计算的指数墙问题。这个方法，在当时看来是一个比较可行的办法。事实上，我之所以来到这所南方的大学，就是想掌握这样一种研究量子多体系统的计算方法，并用它到求解三角晶格 Hubbard model 金属-绝缘体莫特相变。

我们的计算结果如图1 所示，其实已经可以相当清楚地看到相互作用是如何改变系统的能带结构。在图1（下）中画出了布里渊中高对称线上的单粒子能谱，也许是那个时候看古书的缘故，我们特意把结果画成中国画立轴的样子。随着 U 的增大，可以看到无相互的能带，是如何一步步展宽，谱权重是如何从紧贴着色散关系（就是我们在之前的文章中讲到的准粒子寿命无穷长）到弥散到很大的频率范围的。同时，就在 U≈9t 的地方，也是相互作用和费米子的带宽相似的地方，原本的一条能带被撕裂成两片分开的谱。金属到绝缘体的相变就发生在此处，费米面上再无准粒子，系统进入绝缘相。这样的结果也呼应我们在之前的文章中提到的（参见《历史的终结与最后的人 | 量子多体中的呐喊与彷徨之四》），相互作用的电子系统，费米面的变化可以不再遵循 Luttinger 定理，在图1（下）的整个变化过程中，系统的电子填充数并没有发生改变，而费米面却硬生生地消失了。

图1:（上）二维正方晶格和三角晶格上的 Hubbard 模型。t 为电子动能，U 为电子库伦排斥。（中）二维三角晶格布里渊区和不同填充数下的费米面，只有在填充数接近 n=1.5 时才有明显的 van Hove 极点和 nesting，其他填充数时（如半满 n=1），系统具有接近理想圆形的费米面。（下）团簇格点数为6的动力学平均场单例子谱函数计算结果，可以看到随着 U 的增大，能带逐渐变得模糊，谱权重逐渐从无相互作用的能带附近弥散开来。在 U ≈ 8,9t 的时候，原本的一条能带断裂成两条，系统经过莫特转变从金属相进入绝缘相（数据来自文献[1]）。

但是团簇动力学平均场计算本身有一个很大的问题，那就是说到底，严格的计算只是在一个量子少体的团簇上进行，而与环境迭代的效果，使得整个计算，也就是最后收敛的自能和格林函数，实质上倾向平均场结果。如果是研究相变左右两个相各自的性质，比如费米面上准粒子权重或者对称性破缺相中序参量的局部结构，也许还是可以给出定性正确的结果；但是如果想要研究相变本身的性质，比如临界行为、涌现分数化激发和拓扑序规范场等等真正抓住问题物理实质的现象，由于计算方法本身并没有严格处理量子多体系统的配分函数，即不尊重相变点标度不变性也不尊重其共型不变性，团簇动力学平均场其实无能为力的。
也正是在通过切身的研究意识到这些本质性缺陷之后，我才开始转而投入到发展能够通过量子蒙特卡洛严格的求解晶格模型和算法设计的大潮之中，摈弃通过近似方法研究量子多体相变物理实质的念头，路越走越宽，此处先按下不表。
当然，将近10年过去了，三角晶格 Hubbard model 的莫特转变仍然是一个未解问题。最近有 DMRG 计算指出其实在费米液体金属和反铁磁莫特绝缘体之间还存在一个手征量子自旋液体（chiral quantum spin liquid）^[2]，事实上如此的中间相一直是一种可能性，只是 DMRG 的计算其实也是变分计算，且只关注基态，不能回答费米面是如何变化的，这方面还是有待方法上的突破。另外，我的朋友，北京航空航天大学的李伟及其小组，一直在开发热张量网络的计算方法，可以计算量子多体系统的比热和磁化率等重要物理性质随着温度的变化，目前已经在三角晶格反铁磁 Heisenberg 模型的比热计算中得到结果^[3]，而费米子 Hubbard model 在正方晶格上也进行了初步的尝试^[4]，从这个方面研究三角晶格 Hubbard model 的相图，尤其是通过不同的热力学性质分析是否存在不同的基态，将会是一个有意义的方向。

古 代

好的，三角晶格的莫特转变的问题让我一步步看到了看似强大的团簇动力学平均场方法其实也有着很大的局限性，从而转求其他更加本质的研究方法。而那些在图书馆中偶遇的《宋书》《南齐书》《梁书》和《陈书》，却更把我带到了深深的忧虑之中，以至于直到今天，尽管我在通过模型设计求解量子多体问题的道路上越来越有信心，但从古书中看到我们的历史和文化的本征缺陷，伴随着身边时时见到的它们的现代表现形式，更加困扰着我，悲观的情绪不断袭来。
事情是这样的，中国古代正史中帝王的本纪实在没什么意思，都是好话，批评都是委婉的。南朝中残忍乖戾，杀人如麻，甚至心理变态的昏君一大把。如果不了解当时的背景，光看这样的官样文章，实在读不出所以然。还是看看列传吧，看看魏晋风度六朝人物。但这一看就更明白了在乱世之中，人的生命是如此的倏忽短暂，不在自己的掌握中。比如帮助刘裕晋宋禅让的傅亮，博学而有文采，后来却被由他扶正但是生性多疑的宋文帝诛杀；被李白称赞为“蓬莱文章建安骨，中间小谢又清发”，上承建安风骨，下启盛唐气象的诗人谢脁，最后也在权利的斗争中成为牺牲品；意识到汉语诗声律要求，为后来唐代格律诗的发展与成熟奠定基础的沈约，也在齐梁的交替中扮演过篡位帮凶的角色，晚年更因为失宠于梁武帝，战栗忧惧而死。这些人物或自愿或被迫，为体制贡献了自己的力量，最后却都被体制所无情地吞噬。
这样的阅读更让我从这些官修史书的人物传记中，看到了中国人自古以来对于头衔的偏执。即使偏安一隅的孱弱南方小朝廷，在介绍某人时，也经常看到如下重复性的表达：

“某某，…, 出为使持节、散骑常侍、骠骑将军、开府仪同三司、都督江州诸军事、江州刺史 …”，“某某，…， 使持节，转护军将军，加散骑常侍，领石头戍事，封某某县公，食邑二千户 …”,“某某，…，诏加班剑二十人，开府仪同三司，征北将军，并加督青州及徐州五郡军事 …”。

这些官名都很长，乍一看看好像都很重要，但要说具体是干什么的，又都说不清楚。稍微查了其中的比较抽象的几个，“使持节”“散骑常侍”“开府仪同三司”，翻译出来给大家看看：

使持节，是魏晋南北朝时期直接代表皇帝行使地方军政权力的官职。

散骑常侍，为皇帝侍从，入则规谏过失备皇帝顾问，出则骑马散从。魏、晋多为显职。

开府仪同三司，魏晋南北朝时期的一种高级官位。开府仪同三司的意思是设置的府邸和进出仪式都跟三司一样。三司，就是三公三师。太尉、司徒、司空，是为三公。太师、太傅、太保，是为三师。

大概看明白了吧，种种让人眼花缭乱的头衔，其实就是彼时的国家制度给对于体制有用的人恩惠，是地位、权利和资源的象征。前面提到的诸多在乱世中横死的六朝人物，其实都是在这些头衔的引诱之下，一步步地走入体制，为体制服务，又一步步地被体制所碾碎的。用物理学家，尤其是中国物理学家能够听懂的语言说，这些自古以来的种种让人眼花缭乱的官名，其实就是今天一样让人眼花缭乱的种种“帽子”。追逐帽子的传统古已有之，已经深入到我们民族的文化基因里去了。
大家都知道，目前我们科研领域的人才选拔和资源分配制度，实际上就是由一个又一个的帽子构成的。30岁左右的人心里想着四青五青，40岁左右的人心里想着杰青长江，如果运气好一路坚持到50多岁还爬得动，那么还得开始运作院士和种种国家奖项。如是的体制和文化，使得科研资源的分配和各种奖项与人才计划紧密相关，能否获奖和获得项目直接关系到科研人员及单位的切身利益。这些帽子就是当代的使持节、散骑常侍、开府仪同三司，而这些帽子逼得从业人员和单位为了能够获得更多的利益用尽方法去争夺。所带来的种种问题有目共睹。
在制度层面，我们的人情社会其实鼓励了种种违规的现象，其中最简单的就是“打招呼”。君不见每到评审的节点，评委和申请人以及申请人单位之间的互动，已经成为一种颇为壮观的社会现象，甚至可以说和美国国会里的游说团体异曲同工。我就亲身经历过，与合作者在科研题目进行到热火朝天的关键时刻，合作者被单位里的好心领导指点着去找各路评委打招呼，表面上看好像只是耽误了几天认真思考的时间，但是思路被打断，需要很长的时间才能恢复。如果可以少一些名目繁多的人才计划和奖励，少一些量化排名和评估，让科研环境多一些安宁，也许才能够孕育更多真正有影响力的原创性成果。
在科研人员自身方面，这么多的帽子其实极大地混淆了他们在工作本身上的注意力。笔者曾经十分天真地认为这是中国科研制度对于从业人员更高的要求，不光需要工作本身做得好，还得能够搞定人情社会的种种规则。几年下来越来越觉得这样不可能。人的精力有限，科研工作往往又需要长时间专注地思考，但是每年从准备申请各种帽子的本子到开始参与竞争，到打招呼，到名利分配的种种纠葛，有太多太频繁的干扰打断思考，这本身是违背科学的内在规律的。更加可悲的是，一路被鞭打着去争抢帽子的第一线科研人员，不论成功与否，最后都是遍体鳞伤。我就亲眼见过有人在本身工作的领域已经走在世界前沿，但就是因为这样争夺的压力而失眠、抑郁以至于需要药物维持，庶几南朝时沈约“战栗忧惧”的现代版本。有善良的朋友说还得坚持下去，等熬到了能够改变游戏规则的时候再去改变它。但是我越来越觉得如果真有那么一天的话，经过十几年、几十年的持续外力，更大的可能是体制改变了个人，而不是反之。还是那句话，如果没有这么多帽子，或者起码在评审的过程中不需要本人或者单位参与，让本人根本不知道参与评审这样的事情，那会减少多少不必要的烦恼啊。
总之，目前来看，对于帽子，对于使持节、散骑常侍、开府仪同三司的追逐，即是我们古已有之的文化基因，又是我们不得不面对的惨淡现实。希望这样现实能够尽快改观，希望一个宽容、真正鼓励深入思考的环境能够尽早到来。

回到南方

行文至此，基本内容都讲完。从科学上和情感上，还有两件后续的小事需要交代一下。一是上文说到团簇动力学平均场仍然不是严格的办法，因此三角晶格 Hubbard model 中超越 Luttinger 定理的莫特转变，严格说起来我们还没有看到。那么到底有没有超越 Luttinger 定理，即费米子的填充数和费米面在布里渊区所占比例不相等的严格结果呢？其实是有的，答案很简单，就是把我们在上一篇文章中（参见《历史的终结与最后的人 | 量子多体中的呐喊与彷徨之四》）讲到的正交金属相进行掺杂，然后调节掺杂后的正交金属到费米液体的相变。通过设计晶格模型和进行严格的量子蒙特卡洛计算，我们看到如图2（左上）所示，掺杂的正交金属终于显示出了与铜基超导体在赝能隙区域中类似的费米面形状，即不闭合的费米弧 (Fermi arc)，并且从图2（左上）的费米弧到图2（左下）的费米液体相变过程中，系统的电子填充数没有发生改变。显然，费米弧态超越了 Luttinger 定理，感兴趣的读者可以深入文献^[5]。也正是这样的结果，使我觉得通过晶格模型设计和严格的数值计算，辅之以抓出问题物理实质的场论分析，这样的道路会越走越宽。

图2:（左上）掺杂正交金属中实现了费米弧（Fermi arc）态。在 nodal （pi,pi） 方向上有准粒子权重，而在 antinodal (pi,0) 方向上没有权重，费米面断裂，不满足 Luttinger 定理。（左下）增大了复合费米子的动能，将 Fermi arc 态调节到了费米液体后的费米面，费米面完整，满足 Luttinger 定理。（右）准粒子权重从 antinodal 方向向 nodal 方向，随着角度变化行为。在费米弧（ Fermi arc） 态中，准粒子只生活在 nodal (pi,pi)方向；而在费米液体中，在闭合的费米面上都有准粒子。（数据来自文献 [5]）。

第二是让我们再回到本文开头的那个美国南方小城。虽说在文化上我在那里体会到了孤独的滋味，但是在实际的科研工作和日常生活上，还是受到了诸多师长和朋友真诚的照顾。尽管离开之后还没有回去过，但是夜阑人静时那种慢悠悠平静而略带忧郁的南方风物总是从心里冒出来，时时想起夏日里从墨西哥湾上吹来的燥热的风和冬日的暖阳，想起沼泽地、密西西比河、Jambalaya 和 Cajun food&music。
最近一段时间，那里好几位曾经对我有过帮助的师长都去世了，包括去年的 Mark Jarrell (动量空间团簇动力学平均场的发明人) 和今年的 Ward Plummer 老先生，后者中科院物理所的郭建东研究员刚刚写了一篇至情的怀念文章^[6]。Mark, Ward 还有张坚地等等师长构成了我对于那片迷人土地的记忆，受到的教导、扶持和关怀是不能忘怀的。郭建东老师的文字有几句与本文也有契合之处，他提到：“Ward一直把他有的最好的资源都倾注给了身边的年轻人，他最引以为自豪的就是他培养学生和学者的成就”，Ward 自己也讲到：

My legacy will be the minds I molded; not the papers I wrote or the prizes I won. 

——Ward Plummer

诚哉斯言，伤哉斯人。学者的贡献在于发扬真理，脱心志于俗谛之桎梏，在于铸造后起的头脑，不在于自己头上有多少帽子。这也许就是那片平静而略带忧郁的土地，教给我的深沉的、困难的、但是仍要勉力追求下去的人生课题吧。 

参考文献

[1] Unconventional superconductivity on the triangular lattice Hubbard model Kuang Shing Chen, Zi Yang Meng, Unjong Yu, Shuxiang Yang, Mark Jarrell, and Juana Moreno Phys. Rev. B 88, 041103(R) (2013)

[2] Chiral Spin Liquid Phase of the Triangular Lattice Hubbard Model: A Density Matrix Renormalization Group Study Aaron Szasz, Johannes Motruk, Michael P. Zaletel, and Joel E. Moore Phys. Rev. X 10 (2020)

[3] Two-temperature scales in the triangular-lattice Heisenberg antiferromagnet Lei Chen, Dai-Wei Qu, Han Li, Bin-Bin Chen, Shou-Shu Gong, Jan von Delft, Andreas Weichselbaum, and Wei Li Phys. Rev. B 99, 140404(R) (2019)

[4] Quantum Many-Body Simulations of the 2D Fermi-Hubbard Model in Ultracold Optical Lattices Bin-Bin Chen, Chuang Chen, Ziyu Chen, Jian Cui, Yueyang Zhai, Andreas Weichselbaum, Jan von Delft, Zi Yang Meng, Wei Li arXiv:2008.02179[5] Doped Orthogonal Metals Become Fermi Arcs Chuang Chen, Tian Yuan, Yang Qi, Zi Yang Meng arXiv:2007.05543

[6] 传奇还将继续——怀念一代宗师Ward Plummer,郭建东，https://mp.weixin.qq.com/s/Vwfyh1snSzqE5n-Uuk-4Fg

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