在古希腊，学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径。毫无疑问，数学及数学家对人类文明的进步做出了不可磨灭的贡献。本文为2015年11月，北京大学田刚教授在“未来论坛”上做的题为《庞加莱猜想与几何》的报告实录，讲述了作为拓扑学发展重要动力之一的庞加莱猜想的研究历史。
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庞加莱猜想与几何（上）
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庞加莱猜想与几何（下）
演讲 | 田刚
我今天要讲的是庞加莱猜想与几何的关系。我先说明一下，要讲我现在做的研究确实是比较困难的，在座可能只有一部分人能听懂，如果讲一大堆公式可能效果也不好。今天更多讲一点数学的历史，希望给大家传递一个信息，数学是有用的。我讲的庞加莱猜想其实现在还没有实际应用，但整个数学发展的过程对人的思维、对自然和真理的追求都是非常重要的事。庞加莱猜想提出的时间很长，得到更多公众的注意是因为克莱（Clay）数学研究所在本世纪初的时候悬赏7个重大问题，并不是说这7个问题就是数学中仅有的问题，也不是说它们就是最重要的，但是这7个问题确实是非常重要的问题，其中一个就是庞加莱猜想。这在数学里是有传统的。上世纪初，1900年的第一届国际数学家大会上，大卫·希尔伯特提出23个历史性数学难题，对数学上百年的发展起到非常重要的作用。克莱研究所悬赏这7个问题也是受此启发的。解决大卫·希尔伯特的23个问题中任何一个可以拿数学大奖，所以是有一定的激励作用。庞加莱（1854-1912）是法国著名数学家，他也是理论科学家和科学哲学家。1904年，庞加莱提出了著名的庞加莱猜想，在100多年时间里一直困扰着全世界的数学家。庞加莱猜想的出现与几何学的发展紧密相关。我在今天首先回顾历史。数学，尤其是几何学，所涉及对象就是普遍而抽象的东西。它们同生活中的事物有关，但是又不来自于这些具体的事物，因此在古希腊学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径。据说柏拉图学院门口写着：不习几何者不得入内。古希腊的几何地位是非常高的。
毕达哥拉斯（约公元前569年—公元前475年）是古希腊著名的哲学家、数学家和天文学家，其思想和学说对希腊文化产生了巨大的影响。在数学方面，毕达哥拉斯有一个著名的定理，西方叫毕达哥拉斯定理，在中国叫勾股定理。当时毕达哥拉斯还提出了地圆说，他觉得地球是圆的，这是非常了不起的事。2500多年前大家生活区域非常小，所见之处基本可以说是平坦的，怎么能想象地球是圆的？这一点是毕达哥拉斯学派一个非常了不起的地方，他们不仅猜到地球是圆的，甚至想出一个办法测地球的直径，跟现在的测量相差不是很大。
在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然而缺乏系统性。在公元前300年左右，欧几里得完成了《几何原本》一书。这本书非常著名，对我学数学也有很大的影响。在我上小学的时候，当时很多时间不上课，在家自学的有几本书，其中一本就是《几何原本》。公元前100年考古发现了一份《几何原本》拓片。古希腊有记载的第一个女数学家叫希帕蒂娅，她是著名数学家，也是天文学家、哲学家。希帕蒂娅和父亲一起对《几何原本》进行修订。在西方艺术作品中也有这位女数学家的形象，她死得比较惨，由于她的学说、文本和观点跟当时基督教产生很多思想上的冲突，她当时被报复处死。她终身未嫁，她是嫁给了科学。
《几何原本》全书分13卷，有5条“公理”或“公设”、23个定义和467个命题。欧几里得由公理、公设和定义出发，严格推导出命题。当时这些定理都是没有实际用处的，纯粹是逻辑推理和演绎，但是非常漂亮。比如讲，其中严格论证了毕达哥拉斯定理（即“勾股定理”）：直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。在公元前约3000年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组。考古文献中有一个泥版，最大勾股数是18541，12709，13500，这个数肯定不是测量出来，这应该古巴比伦人思考得出来的，因为不可能靠测量出来，当时的技术水平测不了这么大的数。古埃及人也应用过勾股定理。在中国，商朝的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理特例。在西方，据说最早提出并证明这一定理的是公元前六世纪的毕达哥拉斯，但他是如何证明这个定理的，我们找不到了。这个严格证明出现在《几何原本》里。《几何原本》中的最亮的一个结果是欧几里得证明了只有五种正多面体并给出了它们的作法。柏拉图学派认为世界是由五种元素组成，它们对应了五种正多面体，用现代数学语言是对应五种对称群。这些完全从抽象思维得出来的东西非常漂亮。
欧几里得几何学成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。在之后的2000多年间，这一严格的思维形式，不仅用于数学，也用于其它科学，甚至用于神学，哲学和伦理学中，产生了深远的影响。但是其似乎显然的“平行公设”，所谓“通过一已知点，能作且仅能作一条直线与已知直线平行 ”，却遭到质疑。这是什么原因呢？欧几里得《几何原本》有五条公设，其他是定义，定义是明确要研究东西是什么意思，从公设和定义出发推导整个平面几何的定理。公设中前四条都很容易看，第五公设相比不那么显而易见。第五公设是否能作为公设，还是应作为定理？这就是最著名的、争论了长达2000多年的关于“平行线理论”的争论。从逻辑推理来说这一条公设是不是从其他四条公设推出来，很多人做这方面研究，历史长河中可以搜到很到历史上著名数学家研究这个问题。这是一个纯学术问题。在1830年左右，俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家雅诺什发现了第五公设不可证明，创立了非欧几何学。其实第五公设根本不需要，一样可以做几何。可以有平面几何，也可以有非欧几何。雅诺什在研究非欧几何学的过程中曾遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲、数学家鲍耶•法尔•卡什一辈子研究这个问题没有任何进展，他不希望儿子走他的老路，认为他的研究是耗费精力劳而无功的蠢事。高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。高斯是著名的数学家，他不敢发表，害怕因此对他的名声有影响。因为当时平面几何、欧式几何是大家普遍接受的东西，突然说有一种几何不是欧式几何，一下子难以被人接受。
简单说一下，如非欧几何模型之一的庞加莱圆盘模型所示：过“直线”外一点可以做出无数条与该“直线””“平行”的“直线”，当时是非常新的几何，现在看这个几何非常有用，之后还会看到有很多非欧几何的应用。埃舍尔1959年完成的木刻版画“圆极限 III”，在有限的画面中表现无穷：“画面中的鱼比喻成从边缘发射而来的火箭，它们从无穷的远处发射而来，经过圆的中心，又慢慢地游回千里之外”。这个相当于一个艺术作品，用一些非欧几何直线画出来的东西，比平面几何还好看，更丰富。自然界非欧几何也存在，像大堡礁的珊瑚，有的珊瑚呈现非欧几何的形状。
大约过了20多年，1854年，黎曼（Riemann，G.F.B.1826—1866）发明了黎曼几何，今明两年很多地方纪念黎曼逝世150年。黎曼是德国数学家，他是高斯的学生，早期不做几何，而是做分析的。当时在德国拿到博士以后，不一定能够做讲师、教授，做教授还要经过教授资格考试。黎曼是高斯的学生，非常聪明，高斯想试试他，看看到底有多聪明，让他做几何问题，结果他就创立了黎曼几何。他引进了流形和度量的概念，并且证明曲率是度量的唯一内涵不变量。欧几里得几何，非欧几何都属黎曼几何。前者是平坦曲率的情形，后者曲率为负。黎曼告诉大家有更多种的几何，有一个度量就是一种几何，以前平面几何只是其中非常特殊的一种。一个曲线的曲率，可以看到它的弯曲程度。总的来说曲率测量曲面或者空间的弯曲程度，有时候需要考虑更高维的空间，这个时候它的曲率也是可以定义的。黎曼还有一个贡献，考虑抽象空间概念的时候，我们可能看不到这些空间，三维空间在我们这个空间里面是看不到的，但曲率确实存在。我们举一个例子，在广义相对论中，宇宙一切物质的运动都可以用曲率来描述，引力场实际上就是一个弯曲的时空。一个著名的事件是爱丁顿日全食，它证实了爱因斯坦的理论，光线“弯曲”了。我们可以看到太阳后面的恒星，为什么能看到，就是因为在这个空间直线实际上是弯曲的，太阳有很大的引力造成空间弯曲，所以曲率确实是存在的。
几何学的进一步发展产生了很多新的数学分支，拓扑学是其中一支，但它与通常的平面几何、立体几何不同，拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。比如一个茶杯的表面和一个救生圈的表面是一样的，它的形状可以不一样，但拓扑性质是一样的。拓扑有一个好处，就是特别的稳定，形状变了以后拓扑性质仍不变，看上去是非常抽象的东西或者跟以前想象得几何不一样的东西，现在量子计算就用到了拓扑不变性。庞加莱猜想就是拓扑学著名的研究问题之一，它给出最简单的三维空间（即三维球面）的拓扑刻画。1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出了一个拓扑学的猜想：任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
一百年多来，庞加莱猜想的研究是拓扑学发展的重要动力，包括上世纪60～70年代高维空间的拓扑分类，80～90年代四维空间微分结构的研究。但很多基本问题尚未解决。低维空间的拓扑仍是非常活跃的研究领域。它与物理紧密联系。举几个例子，1960年，S. Smale将其推广到任意维，并解决了5维及5维以上的广义庞加莱猜想。1982年，M. Freedman解决了4维的广义庞加莱猜想。1980年，W. Thurston提出了一般3维空间的几何化猜想，庞加莱猜想是几何化猜想的自然推论。他还验证了一大类3维空间确实满足他的猜想。虽然这类空间不包括庞加莱猜想，但为庞加莱猜想成立提供了强有力的证据。
如前所说，庞加莱猜想给出3维球面的拓扑刻画。那3维球面有何特别性质呢？我们不可能直观地看到3维球面，因为我们所在空间就是3维，不可能把3维球面放在我们所熟悉的3维空间中，但是我们可以通过类比的方法想象3维球面，通过2维球面来想象、刻画或理解3维球面的可能性质。那2维球面有什么特别性质呢？假如说我站在北极点作投影，2维球面可以看成是平面加上一个对应北极点的无穷远点。类似的，我们可以用数学推导给出一个3维球面到我们生活的3维空间的球极投影。所以，3维球面可以等同于我们生活的3维空间加上一个无穷远点。这在数学上可以严格确定。
还有一种看法，拓扑学从两个圆盘开始，然后形变——拓扑学不关心形状，只要是连续的形变就不会改变拓扑的性质——通过形变得到两个半圆，半圆的边界粘合起来就得到球面。类似于我们包饺子。也就是说2维球面是两个圆盘沿着边界粘起来的样子。我们就可以想象，3维球面就是把两个3维球体沿着边界（也就是二维球面）粘合而成，数学上确实如此。
所以3维球面有两个特殊描述，一个描述是3维空间加上无穷远的点；另外一个是两个实体球沿着边界——边界是2维球，粘合起来。这两个描述看上去非常简单，实际上背后还是隐藏着很多东西。第一个说法说明3维球面是单联通的。一个2维球里面有一个洞，一定可以填满，也就是说2维球面是单连通的，即球面上每个圆盘都界一个拓扑圆盘，或直观地说，2维球面没有孔。像2维球面的情形一样，3维球面也是单连通的，即3维球面没有孔，它上面的每一圆圈都可收缩到一点。我们可以用3维球面的第一种刻画证明这个性质。对3维球面上任给的圆圈，去掉圆圈外一个点后，剩余部分等同于我们所在的、没有孔的三维空间。因此给定圆圈可收缩到一点， 也就是说3维球面是单连通的。我们刚才说明了3维球面是单联通的（即没有孔），而庞加莱猜想说：如果一个3维空间没有孔（单联通的），那么它一定是3维球面。这个问题的证明要难得多。一百年来，拓扑学家是如何去设法证明庞加莱猜想的呢？经典途径是什么？我们从曲面讲起，曲面是二维的，因为局部地我们可以用两个数字来描述曲面上的点。有三个洞的曲面，或者是一个洞的曲面，把里面填满，就成为一个3维实体，都可以坐落在我们生活的3维空间里，并且都是一个3维实体的边界。我们称这样的3维实体为实心环柄体。曲面和实心环柄体的亏格是孔的数量。
3维球面描述二：两个实体球沿着边界——边界是2维球，粘合起来
3维球面的第二种刻画表明它是通过粘合两个3维球体整个边界而得到。这在数学中称为3维球面一个0亏格的环柄体分解，即3维球面可以环柄体（都是没有孔的）而分解。实际上，在上世纪50、60年代证明的，就知道任何没有边界的闭3维空间都能够通过粘合两个一定亏格（孔的数量）的环柄体的整体边界而成。这就是数学上已经严格证明的3维空间环柄体分解定理。
亏格为1的环柄体分解
但是分解不是唯一的。一个3维空间可以有不同亏格的环柄体分解。我们可以从已知的3维球面亏格为0的环柄体分解出发，构造出3维球面亏格为1的环柄体分解。从3维球面出面，这两个实体球分解，实体中间打一个洞出来，把打出来的部分弯一下，与被挖洞的第一个球再接起来，会得到新的环柄体，相当于制作茶杯的办法。这样做的东西实际上整体物质没变，但最终得到一个3维球面的亏格为1的环柄体分解。你还可以做亏格为2的，实际上，只要想象力足够丰富，沿这个方法做下去，就不难得出任何亏格的环柄体分解。高亏格的曲面的结构比2维球面更复杂，会有许多不同的方式来把它们粘合在一起，这样会得到许多不同的3维空间。但是，只有一种办法将2维球面同自身粘合，就是有亏格为0的环柄体分解的3维空间一定是3维球面。如果我们能找到一个方法，使给定单连通的3维空间分解为两个3维球体，则它一定是3维球面，从而解决了庞加莱猜想。这个想法很简单，但是做起来很难，一百年来，拓扑学家都在寻找这一方法。最早研究庞加莱猜想的有影响力的数学家可能是J. Whitehead。1930年，他宣称给出了一个证明，随后发现了错误，主动撤销了这个证明。但在此过程中，他发现了一些单连通、非紧的，但不能等同于欧几里得3维空间的有趣例子。在20世纪50年代与60年代期间，许多有影响力的数学家，诸如：Bing、Haken、Moise和Papakyriakopoulos（常简称Papa）先后尝试着去解决猜想。但都被发现他们想给的证明有缺陷。
Christos Papakyriakopoulos特别要提一下Papa这个希腊数学家，他是1948年来到普林斯顿大学访问，后来留下来工作。他在二战时参加过游击队，希腊二战的时候有左派，有流亡政府，还有当时跟纳粹合作的政权，他参加的左派组织在山里打游击。那时候他自学了很多数学，特别是代数拓扑。后来证明了三个非常重要的定理：Dehn引理，闭路定理以及球面定理，这些都是三维拓扑的基础性工作。他因此获得1964年美国设立的第一个Veblen几何奖。Papa从上世纪60年代初起就开始研究庞加莱猜想，他完全意识到他的努力不一定会有结果，但是他坚持，一边做数学，一边听音乐，人也是非常聪明的。据说他生活非常有规律，每天8点吃早饭，8点半到办公室，11点半吃中饭，3点半参加tea time，4点或者去听报告，或者回到办公室做数学。这样他坚持研究庞加莱猜想，直到他1976年因病去世。他后来留在美国，很可能因为当时希腊的左派受到打压，他的老师工作都没有了，所以他要自谋出路，后来到了美国就没有回去过。当时还有一个有趣的插曲，上世纪50年代希腊安全部门因他的左倾活动，要美国政府把他遣送回国，当时普林斯顿大学不同意，保护了他，他对于普林斯顿大学还是非常感激的。庞加莱猜想最终的解决依赖于微分几何和分析的方法，最重要的工具是R.Hamilton提出的里奇曲率流。R. Hamilton证明了里奇曲率流的许多基础性结果，并给出了解决Thurston三维流形几何化猜想的纲领。他也解决了庞加莱猜想的一些特别情形，但他无法克服一些关键技术问题。有趣的是，普林斯顿大学与庞加莱猜想有很深的渊源。无论是尝试过而未成功的数学家中，还是对最终解决做出突出贡献的数学家中，许多都在普林斯顿大学工作或学习过，如J. Whitehead，Papakyriakopoulos，R.Hamilton等等。
最终解决这个问题的人是Perelman，Perelman在2002年11月12日在网上公布了自己的结果，并给多个数学家发了电子邮件告知他有关证明的一篇论文。之后半年中，他又发布了两篇系列论文。在这三篇文章中，他概述了庞加莱猜想以及更一般的Thurston几何化猜想的证明，从而实现了Hamilton提出的纲领。Perelman的证明，用到了过去50年甚至更长时间微分几何中的许多重要进展，但最终解是他完成的，他的解中间牵涉到很多数学家的工作，包括非负曲率空间的分类，黎曼几何的紧性理论，热传导方程的Harnack型估计，曲率下方有界空间的塌缩理论，极小曲面理论等等。Perelman的证明缺少细节，令人很难读懂，验证工作十分困难。经过几组数学家的大约两年时间的努力，终于补齐了庞加莱猜想的证明细节。虽然Perelman的证明有些漏洞，但都可以修复。Thurston几何化猜想的证明验证工作更曲折一点。就在2012年，R.Bamler还发现Perelman的证明以及他人补的细节都忽视了一个重要的技术问题，幸运的是，利用Perelman的思路可以设法解决这一问题。R. Bamler还证明了比Thurston几何化猜想更广的一个深刻几何定理。他2011年毕业于普林斯顿大学。后来我们知道，在2010年3月18日， Clay研究所将首个Millennium奖授予Perelman。但他没有参加2010年6月8日在巴黎举行的颁奖仪式。这个会我当时也在，去了很多数学家。他于2010年7月拒绝了Millennium奖。之前在2006年，他还拒绝了世界数学家大会颁发的Fields奖。Perelman认为：“大家应该理解如果证明是对的，那么其它的认可都是不需要的。”这是很好的一句话，科学成果本身的价值是最重要的。但是Perelman是否又犯了一个小错这就不知道了，并非每人都能这么想。Perelman问题解决以后，还有很多遗留的问题，最最突出的就是光滑的4维庞加莱猜想，虽然M. Freedman于1982年解决了4维的广义庞加莱猜想，但我们不知是否“存在一个光滑的4维空间，它同胚于一个4维球面但不微分同胚于4-球面”。这被称为光滑的4维庞加莱猜想，依然未被解决，并且被认为是十分困难的。这是现在数学中非常重要的一个问题，怎么样确定光滑结构，有没有微分几何的方法？都是很多数学家尝试回答的问题，也是现在数学中非常重要的问题。1957年，J.Milnor 在7维找到28个“怪球”，表明光滑的庞加莱猜想在7维是不成立的。上述的几何研究属基础数学，它开始都不是以“有用”为动力的，都是在追求一种真理。但实际上却是极为“有用”的，几何在我们生活中用处很多。我举一个例子，大家都经常听到的CT（计算机辅助X射线断层成像仪，简称CT），医生通过它可以观察到人体内部微小的病变和病灶分布，能够及早采取正确的治疗措施。CT成像技术归功于Godfrey Hounsfield和南非出生Allan McLeod Cormack。它的数学基础是Radon变换。Radon变换在被发现的最初并没有马上得到应用，但这并不意味着它没有意义和价值。所以数学是非常有用的，只不过有些研究结果暂时还没得到实际应用。
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