范畴论：数学的数学 | 众妙之门

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以前为了描写对称性，群论走进了物理。现在为了描写量子材料中的量子纠缠，范畴论也正在走进物理。可到底什么是范畴论？

范畴论是一个关于关系的理论，描述并研究关系的所有可能性质。如果绘制一幅数学地图，地面上会有代数、拓扑、分析等不同领域，而范畴论则像是悬挂在天空中的月亮，它提供整个地图的缩略图，让我们看到在地面看不到的各个领域之间的关系，证明看似不相关的数学领域并非完全不同。当你在某个数学领域的边界处艰难跋涉时，范畴思维可以指引你，它增强你的直觉，让你的洞察力更敏锐。而这一关于关系的全面抽象理论，也正好是描写多体量子纠缠的自然语言。

撰文 | Tai-Danae Bradley

译者 | 唐璐

从最早开始学习数学，我们就知道代数与几何有很强的关联，代数方程可以表示成图形和几何对象，几何特征可以用代数表达式刻画。就好像有一座桥梁连接广阔的数学世界中的这两个领域，桥的两边互为镜像。

代数与几何之间对应关系的3个例子：代数表达式-三角形面积，二次方程-半径为2的圆，线性方程-斜率为1的直线。

因此，尽管代数和几何是很不相同的数学领域，但这种联系表明，它们之间存在着内在关联。不仅如此，还有集合论、群论、线性代数、拓扑学、图论、微分几何等等，这些看上去似乎没什么关系的数学分支实际上都存在深层次的关联，代数与几何的关联只不过是其中的冰山一角。令人惊奇的是，这些关联或桥梁不仅仅是浮于表面的印象。它们是数学，而且这种数学有个名字：范畴论。

范畴论是什么？

马丁·库佩（Martin Kuppe）曾绘制过一幅精美的数学地图，其中范畴论高高悬挂在天空，提供了整个地图的缩略图。它让我们能够看到在地面看不到的各个领域之间的关系，证明看似不相关的数学领域并不是完全不同。当你想解决某个领域（比如说拓扑）中的问题，但没有合适的工具可以使用时，这就变得非常有用。通过将问题转移到不同领域（比如群论），就能让你换个角度看问题，说不定还能发现新的工具，让问题变得更容易解决。事实上，范畴论就是这样产生的。它诞生于20世纪40年代，背景是人们试图用更简单的代数方法来解决一个困难的拓扑问题。

马丁·库佩的数学地图

回到数学地图，你可以注意到各领域都包含一些对象：集合论有集合，群论有群，拓扑学有拓扑空间...... 这些对象彼此关联：集合通过映射关联，群通过同态关联，拓扑空间通过连续映射关联......

这条共同的线索贯穿了整个地图，将各领域统一到一起。范畴论将这种统一形式化了。更具体地说，范畴是一组对象及其关系的集合，这些对象之间的关系（称为态射，morphisms）在组合（composition ）和结合性（associativity）方面表现良好。这样就为数学提供了一个模板，将不同内容输入模板，就能重建一个数学领域：集合范畴由集合和它们之间的关系（映射）组成；群范畴由群和它们之间的关系（群同态）组成；拓扑空间范畴由拓扑空间和它们之间的关系（连续映射）组成；等等。

集合与集合之间的关系（映射）；群与群之间的关系（群同态）；拓扑空间与拓扑空间之间的关系（连续映射）。

巴里·马祖尔（Barry Mazur）写了一篇精彩的非专业性文章介绍范畴论，《什么时候一样东西等于另一样东西？》，范畴和模板的类比就是在这篇文章中提出来的。他在文中写道：“范畴的概念是万能的......几乎没有哪种数学对象不适合这个方便并且经常能带来启发的模板。” 事实上，正如范畴论专家尤金妮娅·程（Eugenia Cheng）在她的论文《高维范畴论》中所指出的，“范畴论是数学的数学。”

关系就是一切

范畴论的一个主要特点是它剥离了很多细节：它并不具体关心集合中的某个元素，或者某个群是否可解，或者某个拓扑空间是否有可列基。所以你可能会想，“呃，范畴论似乎太抽象了。这样做有什么好处吗? ” 当然，答案是肯定的！剥离细节的一个好处是，我们的注意力从单个对象上转移开，转向它们之间存在的关系——态射。任何一个范畴论专家都会告诉你：关系就是一切。

事实上，范畴论的一个主要信条就是，一个数学对象完全由它与所有其他对象的关系决定。换句话说，当且仅当两个对象以同样方式与范畴中的每个对象相关时，两个对象本质上是不可区分的。这其中的主旨 [这是著名的米田引理（Yoneda lemma）的一个推论] 与我们的日常经验并没有太大区别。你可以通过观察人们的关系来了解他们，比如他们在 Facebook 上的朋友，他们在 Twitter 上关注的人，他们周五晚上和谁出去玩。如果你遇到两个人，他们有完全相同的朋友，他们在社交媒体上的互动也完全相同，他们在周五晚上和相同的人在一起，那么你可能会开玩笑地说，“你甚至分不清他们。”撇开所有玩笑不谈，范畴论告诉我们，这其实是真正的数学！

那你可能会想，“嗯，如果数学关系如此重要，那么范畴之间的关系呢？它们存在吗? ”问得好。答案是：当然！事实上，这些特殊的关系有个名字——函子（functor）。但是为什么要就此止步呢？这些关系之间的关系呢？它们也有名字：自然变换（natural transformation）。

范畴之间的关系被称为函子，函子之间的关系被称为自然变换。

事实上，我们可以继续：“关系之间的关系之间的关系......?”这样做将使我们进入更高维的范畴论，这正是尤金妮娅·程的主要研究领域。

尽管听起来很抽象，但这些构造——范畴、函子和自然变换——组成了一个理论宝库，不仅仅涉及数学，还涵盖许多学科！范畴论自诞生以来，已经在计算机科学、量子物理学、系统生物学、化学、动力系统和自然语言处理等领域找到了自然应用。（“应用范畴论”网站上有一个应用列表，http://appliedcategorytheory.org/workshops） 因此，虽然范畴论听起来有点抽象，它其实具有很多实际应用。这并不奇怪。范畴论是关于关系的，而关系在我们所处的世界中无处不在！

结 语 

范畴有点像凤尾鱼：有些人天生喜欢，而对其他人则是一种后天习得的口味。所以是的，范畴论确实不能在求极限时为你的 ε 找到一个 𝛿，或者确定你的520阶的群是否为单群，或者为你的偏微分方程构造一个解。为了做到这些，我们必须脚踏实地。但是，当你在最喜欢的数学领域的角落和缝隙中艰难跋涉时，范畴思维可以指引你——它可以增强你的直觉，让你的洞察力更敏锐。如今，我们尤其难以摆脱范畴论在现代数学中的普遍存在。所以无论你学数学的目标是什么，学习一点关于范畴的知识都是值得的！

 作者介绍 

Tai-Danae Bradley是纽约城市大学数学博士生。感兴趣的领域包括范畴论、拓扑学、机器学习和量子物理，空闲时间爱好涂鸦和写博客。

本文翻译自chalkdustmagazine.com，原文标题为“An invitation to category theory”，点击文末“阅读原文”可查看原文。

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