高数学天赋的孩子应该获得怎样的教育？

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科学技术领域的重大问题大都离不开数学，尤其是现代数学的支持。但怎样的数学教育才能让一流的数学家和工程师不断涌现？在这篇文章中，作者认为，对于那些具有极高天赋的中学生，在他们求知欲和精力旺盛的中学时代，应该创造条件让他们学习现代数学，进入更广阔的数学世界，而非被应试教育束缚。

撰文 | 丁玖（南密西西比大学教授）、叶宁军（伊曼纽尔学院副教授）

我们所处的时代是科技发展日新月异的时代。机器学习、大数据、人工智能等术语充斥报刊杂志，令普通百姓看得眼花缭乱。其实这股热流中的一切，都与“数学”二字密切相关。可以说，没有数学的威力，一切科技进步无从谈起。这个道理早在十三世纪就被实验科学之祖罗吉尔·培根（Roger Bacon，1220-1292）所知，他精辟地指出：“所有科学都需要数学。”

比方说当今最热的技术短语“人工智能”，事实上这个领域最根本的问题还悬而未决，需要数学的帮忙。今年5月20日，笔者之一在第二届江苏发展大会的“紫金山论坛”上，聆听了大数学家丘成桐教授的演讲“数学和人工智能”。运用当代数学的微分流形理论，他提出了一个解决人工智能基本问题的方案，所用的工具中有菲尔兹奖获得者维拉尼（Cédric Villani，1973-）所发展的“最优传输理论”。

由此可见，为科学技术解决重大问题，非有数学家的参与不可。华为的创始人和掌舵者任正非已经自豪地宣告，这个中国最了不起的科技公司雇佣了700多位数学家。今年第三期的《数学文化》杂志，刊登了其主编汤涛教授撰写的文章《华为5G与数学》，作者热情讴歌了帮助华为崛起而贡献辉煌的应用数学。

邓小平早就提出“科学技术是第一生产力”的著名论断。如上所说，科技的突飞猛进需要数学的倾力支持，但这里的“数学”还应加上一个形容词“现代的”。这就是：现代数学在国家的科技发展中起着无可替代的领头羊作用。因此，通过先进的教育理念，让一流的数学家以及用现代数学武装到牙齿的一流工程师不断涌现，是中国的科学家、工程师和教育家们必须重视的问题和任务。

现代化的教育，是实现科技强国目标的必由之路。但是，怎样使十二年的初等教育、四年的大学本科教育，及更高层次的研究生教育最大限度地发挥其功能，怎样让芸芸众生中一小部分的资优青少年在知识营养的积极获取和创新能力的不断锤炼下“先富起来”，依然是摆在我们面前的重大课题。

在这篇文章里，我们想讨论这样一个问题：如何在我们的高中课程里，引入现代数学的点滴思想和基本观念，让部分天赋异禀的中学生尽早地了解当代数学的一些前沿领域，为早日成为国家科技发展的栋梁之才迈出通向成才之路的第一步？

现代数学的“下放”

从小学到高中毕业，一个正常的学生在进大学前，要学十二年的初等数学，这在某种意义上讲是够长的了。假如一个人进大学后一直读到博士学位，即便念的是数学系，他在大学里得到的近、现代数学的训练也不会超过十年。几千年前开始逐步完善的初等数学，与四百年前由于微积分的创立而开始飞速发展的高等数学相比，仅仅是基本和基础的知识，也几乎是微不足道到“可以忽略不计”的皮毛东西。许多用初等数学的“笨方法”繁琐求解的题目，如小学算术中的“鸡兔同笼”或中学代数里的极值寻求，放到高一等的数学课里简直是“小菜一碟”。因此，花太多的时间在初等数学的菜园里忙个不休，累得半死，对于天赋极高的部分少年，实在是无用而且无趣的重复劳动。

笔者之一的少年经历颇能说明问题。他的中学时代是在特殊的岁月中度过的，几乎没有正规地学过数理化，1973年初高中毕业后回到家，感到自己的头脑空空如也，求知欲终于喷薄而出，便向父母的早期学生高允翔借来他1963年考上大学前用过的高中三年数理化全套教材猛啃，只花了三个月的时间，便啃完了这十八本书，头脑里终于装进了有用的数理化初等知识。当时他确实认为，这三年的教材完全可以在一年半内学完，而且可以学得很透彻。后来他在工厂干了五年活，没有再读数学书，但1977年恢复高考时考上南京大学数学系，这主要靠的就是那三个月自学而来的数理化知识。

这个故事说明，一部分高中生，完全可以在中学提前学完必修的初等科目，然后借助自己旺盛的求知欲和充沛的精力，进而学习大学的有关课程甚至更高档次的现代科学、人文知识，不浪费自己天生的好资质，不耽搁自己强烈的上进心。事实上，目前在我们大多数的学校里，高天赋的学生被无休止的初等数学习题埋没，他们可能非常厌恶应试教育反复训练的题海战术。然而，很多中学为了提升高考的名校录取率而束缚这些学生的自主创造性学习，导致他们的天赋之才难有机会脱颖而出，只好和大多数普通脑袋像《水浒》中的连环马一样被栓在一起，慢慢地同步朝前走。杨振宁先生早就观察到：中国的教育对一般学生有帮助，但美国的教育却极利于天才学生的成长。固然，一般的学校是为普通的学生开办的，这一点中美两国都一样。但是美国的中小学很早就开始挖掘人才，分层教育，区别对待，因材施教。到了高中，更是想方设法地喂饱、喂好那些既是绝顶聪明又有鸿鹄之志的“人中凤凰”。

比如说，当我国的高三年级不开任何新的课程而全力以赴复习一年迎接高考时，美国的高四两学期马不停蹄地为好学生提供新课、难课、高档课。在笔者之一生活的州，有个直属州管的“数学与科学学校”，全校只有高三和高四两个年级，每年在全州招收75名优秀少年，通过面试录取，封闭式住校进入高三。学校位于一所美丽大学的校园内，教师普遍都有博士学位，州府提供的教育经费是其他高中的三倍。请看该校十年前一位高四华人学生的两学期课程表。

第一学期：《大学英语I》、《遗传学》、《大学统计I》、《有机化学》、《美国政府》、《高等力学》、《经济学》；

第二学期：《大学英语II》、《C++》、《大学统计II》、《微分方程》、《波与电》、《微积分III》、《现代物理》。

这些智商较高的学子高中毕业后，大都进入很好的大学继续深造，许多人日后成长为各行各业的饱学之士。

即便在美国各地的普通高中，也从不吝啬地给好学生提供众多大学基础课程。这些简称为AP（Advanced Placement）的课程从《微积分》到《大学英文写作》，应有尽有；需要什么，学校就开什么，除非师资不够。顶尖大学的新生录取非常看重的是修了多少AP课程。一些能力非凡的学子高中四年期间，可以修完十门以上的这类课程，所以在高三、高四时就成了“半个大学生”。这样的实践，让聪明好学的孩子的读书潜能被充分挖掘，名牌大学也更容易据此而发现那些可塑之才。

美国波士顿大学的数学教授 Robert Devaney（1948-），一直强调将现代数学的思想装进高中、学院和大学本科的课程设计中，与初等数学和初等微积分的课程相结合，这是一个眼光深远的卓越想法。他专门为此而撰文，动员有条件的学校“不时地将现代数学的思想下放到大学生甚至高中生的课程中”。他是菲尔兹奖获得者 Stephen Smale（1930-）教授的博士，在 Smale 的众多弟子中，他的数学教材写得最多。同时，他身体力行地到处演讲许多高中生也能听得懂的现代数学——混沌与分形，极受欢迎，获得过美国数学协会颁发的杰出大学教学奖。他去年70周岁时退休，但“退而不休”。迄今为止，他在世界各地已做了超过1600场的数学演讲。

Robert Devaney

Devaney 在文章《离散动力系统：让学生对数学着迷的途径》的摘要中这样说道：“离散动力系统与分形几何是当代数学最有趣的研究领域中的两个。一个理由是这些领域里经常出现的绝对漂亮的图形。第二个理由是这些领域里的许多论题所有人都能接受，包括高中生。本文目的之一是描述这样一个论题，即混沌游戏。当学生第一次碰到这个玩意时不仅相当激动，而且看到用来理解混沌游戏的分形几何怎样和他们目前正在几何课中所学的东西直接相关。”

如果我们的初等教育理念还是停留在“一切为了高考”的独木桥上，那么我们的一部分资质优异的中学生，虽然也能考上大学甚至名校，但大学前为了高考死记硬背的痛苦经历，以及不可避免受到的落后教育方式的不良影响，可能对他们的心灵甚至求知的态度留下永久性的伤害和打击，以至于可能会阻挠他们日后的发展。因此，在他们的求知欲接近一生顶峰的高中时代，我们应当创造条件，将他们引入现代数学思想的涓涓溪流中去，给他们打开通往“数学天空”的门户。让鱼儿早日随溪流汇入浩瀚的大海，让鸟儿早日从笼子飞到广阔的天空。

现代数学如何“下放”？

然而，现代数学的学科森林密布，树大枝多，选什么为这些孩子开小灶？现代数学的语言艰深难懂，概念抽象，能选出适合先进高中生口味的食材吗？比如说，学完初等代数后是否马上就可以进入近世代数？诚然，有会把高深的数学讲得像扬州评话大师王少堂的《武松打虎》那样精彩的人人都听得懂的老师，如“国家名师”顾沛和李尚志两位教授。极会教书的美籍华人数学家李天岩教授对“怎样讲现代数学”也曾经夸下这样的海口：“如果真懂数学，可以讲得连高中生也能听得懂！”然而，我们不能说随机地选取现代数学林立分支中的任一专题，就能胸有成竹地踏进高中生的数学课堂；我们不仅要顾及高中生对深奥知识的接受能力，也要考虑高中数学教师头脑中的现代知识结构。

实际上，相当部分的近、现代数学论题可以下放到部分高中同学的课堂，或许可以在课程的名称上加上“初等”二字，譬如《初等数论》、《初等抽象代数》及《初等线性代数》，就像已经下放到一些高中的《初等微积分》那样，以免吓跑那些对所谓“高等的数学”望而生畏的中学生。

上海师范大学的一位数学教授这些年来一口气写了三本书，分别为《从一元一次方程到伽罗瓦理论》、《从求解多项式方程到阿贝尔不可能性定理》以及《从代数基本定理到超越数》（由华东师范大学出版），它们取材于近世代数，但内容可以作为高中生读本。

某些精心制作的课程，优秀的高中生完全可以领会，甚至可以学得比大学生还好。笔者之一的师兄弟王筱沈教授的女儿读高中时，在她爸爸的系修了许多高等数学课，其中一门拓扑学的老师对她的评价是：“她对数学概念的理解速度，可能比我拿过菲尔兹奖的博士导师还要快！”他的一位同事的儿子，高中时和数学系的研究生共修《近世代数》，班上很少人拿到成绩A，他却拿到了。正因为他很早就通晓了许多数学，高中毕业前做了一项研究，发现了函数 y = ln |x| 的迭代周期轨道的模式，发表在美国数学协会的期刊《高校数学杂志》上。他水到渠成地进了麻省理工学院数学系读书，现在加州大学伯克利校区念拓扑学的博士研究生。

笔者分别为《数学文化》杂志写过科普文章，介绍过初等函数的迭代和初等几何图形的迭代。我们认为这些研究论题背后的现代数学思想与中学生学到的代数和平面几何联系密切，完全可以向喜欢探索的高中生推荐，起到连接近代与当代数学概念的桥梁作用。

“动力系统”是一个疆场广阔的现代数学分支。任何与时间有关的学问都可以称为动力系统。“时间”有连续推进或取定一个时间单位后依次选择与自然数相对应的离散时刻。前者称之为“连续动力系统”，它常和微分方程联系在一起，于是和初等数学之间隔了一条微积分的大河。然而，后者所对应的“离散动力系统”在数学上等价于无穷次迭代一个抽象函数，它把定义域映到自身内。函数的迭代尽管可以构成一门精深的学问，它的基本思想和方法却与高中代数密切相关。本质上，它研究函数无穷迭代过程的最终行为，而函数则是初等代数课本里多次出现的概念。

如果把注意力从代数移到几何，“动力几何”就是关于几何图形随时间而变化的动力系统。如果考虑的是像三角形或多边形这样的简单平面图形，则它自然又与欧几里得几何有关。初等几何是中学数学中最重要的一门课程，它教会了学生怎样逻辑推理，怎样训练思维。但是中学所学的几何可被看成是“静态几何”。现代数学的思想落实到初等几何上就催生了动力几何这一学科，五十年前刚刚开始兴起的“分形几何”这门当代数学分支与动力几何有引人入胜的关系。因此，通过初等几何向动力几何的进化，能力高强的高中生可以领略分形几何中出现的现代概念。

“迭代”某物是现代数学的基本做法：它出现在计算数学里解非线性方程组的牛顿法中；它出现在泛函分析内巴拿赫压缩映像定理的证明中；它出现在应用数学之学科数学规划的算法中；它出现在被普林斯顿高等研究院戴森教授称为“数学文献中不朽的珍品”的李-约克混沌定理的叙述中。总之，现代数学几乎每一个分支中都会出现“迭代”的身影。下面，我们通过引进两个“样本”现代数学论题，看看怎样将它们结合到高中的课程中。

文静与活泼的函数

中学代数处理的主要对象之一是函数，比如多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数等所谓的“初等函数”。在“三角函数”课程中大家也学了六个三角函数以及它们所对应的反三角函数。学完后学生对这些初等函数的定义域、值域、单调性、极值等性质，可以说达到了如指掌的程度。比如说，底大于1的指数函数是严格递增的，底小于1的指数函数是严格递减的，如此等等，不一而足。如果学了初等微积分，我们就会对初等函数的微分和积分的公式及其众多应用知道得更多了。

但是在中学的课本里，这些函数一旦出场，就像一个被封建伦理道德熏陶出的文静姑娘一样，在公开场合羞羞答答，不敢以多姿多态的现代形象吸引他人。旧时代司空见惯的坐在床边羞答答姑娘的一举一动，只有那些辜鸿铭（1857-1928）式的老派人物喜欢。现代人追求的是活泼可爱的青春气息。让函数动起来，就有了函数迭代以及迭代与函数表达式中带有的参数之依赖关系的研究。

如果一个骄傲的高中生号称他学会了指数函数的所有性质，那么试试问他这个问题：

取一个正数a，请问a,  a的a次方,  a的a的a次方,  a的a的a的a次方, …… 这个所谓的“迭代指数列”最终会走向哪里？

这个问题有趣吗？我们通常使用的高中代数课本、各地大量印刷的教辅书、铺天盖地出现的课外辅导班、不断深入千家万户的的家庭教师等，问过这个问题没有？

两百多年前的大数学家欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）问过！1778年，他第一次研究了该数列的收敛性问题，而与此问题相关的方程 x^y = y^x 求解问题则早其50年前，由比他大7岁的亲密战友丹尼尔·伯努利（Daniel  Bernoulli，1700-1782）提出。伯努利给哥德巴赫（Christian Goldbach，1690-1764）的信中说：

“

我解决了一个有趣的问题：找到不相等的数 x  和 y 使得 x^y = y^x 。该方程仅有一组整数解 x = 2 及 y = 4，但却有无穷多个有理数解。

”

上述欧拉的“迭代指数列”只不过是以a为初始点，迭代以a为底的指数函数

f(x) = a^x

而得到的迭代点数列。这里的底a，可被看成是指数函数簇 {a^x} 中的参数。

对于学完了高中代数并且有初等微积分基础的的高中生，可以考虑更一般的问题：从任意的初始点x₀出发，无穷次迭代指数函数 f(x) = a^x，得到一个无穷数列 {x_n}。试问这个数列最终会走向哪里？

更进一步，对哪些初始点 x₀，迭代点的数列收敛或发散？如果收敛，收敛到何处？如果发散，又怎样地发散？你的结论对底大于1或小于1的不同情形，是一样的吗？

我们不拟给出现成的答案，仅仅画上几张富有启发性的图。下面是指数函数当底为 e^1/e 时的图像，这根曲线在点 (e, e) 处恰恰与x-y轴的对角线 y = x 相切。这时候，x* = e 是函数 f(x) = e^x/e 的惟一不动点。但当初始点取任一其他数值时，由此起步的迭代点的轨道则怎么走呢？

图中曲线表示函数 f(x) = e^x/e，x-y轴的对角线表示函数 y = x。x* = e 是函数 f(x) = e^x/e 的惟一不动点。

如果将指数函数的底a从 e^1/e 变小一点，但还是大于1，这时它的图像就会连续变形到如下所示：

对于 1< a< e^1/e，函数 f(x) = a^x 有两个不动点：左边的不动点x* 和右边的不动点y*。

原先底为 e^1/e 时图像中的切点一下子分成两个点来，它们是新的函数图像与对角线的交点。也就是说，函数 f(x) = a^x 现在有两个不动点了：左边的不动点x* 和右边的不动点y*。我们由图发现，曲线在靠近左边交点处看上去像胶东平原那样比较平坦，而在靠近右边那个交点附近却像泰山那么陡峭了。这些几何上的观察会指导我们得出关于从任何非不动点出发的迭代点轨道最终行为的结论吗？

反过来，如果将指数函数的底 a 从 e^1/e 变大，几何上就是把上面的第一个图像向上提升一点，再加点变形，结果是切点消失了，整条曲线与对角线老死不相往来，导致没有了不动点。但是从任一数作为起点，迭代还是可以继续做的。问题是这时迭代点的轨道何去何从？

上面只对底大于1的指数函数的迭代分析给出了提示。当底a大于零但小于1时，指数函数 y = a^x 的图像和对角线总是只有一个交点，即函数有且仅有一个不动点。从任一其他点出发的迭代点轨道会趋向于它吗？如果我们仔细地研究这个问题，就会发现初等微分学更加神奇的作用，它将把我们引入周期轨道的范畴，并再次领略“分支图”的风光。这时光研究指数函数本身可能就不够了，还要研究它和自身的复合函数，其当底a等于0.1时，图像为

图中的曲线表示当a等于0.1时，指数函数 f(x) = a^x 的复合函数 g(x) = f(f(x))。

当底递减到一个奇怪的小正数时，该条曲线连续变形到下面的形状：在曲线与对角线的交点 (1/e，1/e) 处，对角线也是曲线在该点的切线。此外，曲线在切点的左侧是“向上弯”的，而在右侧是“向下弯”的，所以这个切点是一个我们驾车在高速公路上常常遇到的“拐点”。它的存在决定了当底 a 变得比 更小时，比如说 a = 0.03，函数 f(x) = a^x 和它自己的复合函数 g(x) = f(f(x)) 的图像就像蛇扭动身体一样地扭曲成如下有点像“S”的形状，于是与对角线的交点增加到3个。

图中递减的曲线表示函数 f(x) = a^x，其中a=0.03。扭曲的S形状曲线表示复合函数 g(x) = f(f(x))。

这样指数函数 f(x) = a^x 除了不动点 x* 外，产生了一个周期为2的轨道。如此这般，我们就能想象和猜测其他点出发的轨道最终的走法如何。

解决了上述问题，对之前“欧拉迭代指数列”收敛与否问题的解答，只是一个推论而已。研究这类具体带参数函数迭代问题的过程，需要代数知识的融会贯通和精巧的微积分技术，以及一颗善于思考的头颅。对其他有启发性的类似问题，其几何直观性与分析严密性相辅相成，可以引导学生吸收“离散动力系统”这门现代数学分支的基本思想。如果会高屋建瓴地应用初等代数与初等微分学的基本概念和精巧知识，就能进行深入而卓有成效的探讨，而这对于出类拔萃的高中生，并非是可望而不可即的难事。须知，离散动力系统里的最有名定理之一——“李-约克混沌定理”，其证明中所用到的主要工具仅仅是初等微积分中的“介值定理”。我们对于天才学生的教育理念，一定要跳出“循规蹈矩”的锁链，不拘一格地设计出别具一格的“提高班教材”。

可见，与“活泼”的函数“约会”要比与“文静”的函数“厮守”好玩有趣多了！这就是现代数学“下放”后的一枚硕果。

静态与动态的几何

平面几何可以说是中学阶段最重要的一门数学课程。我们从中学会了怎样由公理、公设、定义等数学概念出发，演绎出一大批关于三角形和圆等几何对象的命题。平面几何是中学生训练思维的大脑体操。如果没有学会推理的本领，进了大学大概难以学通《数学分析》这一每个定理都需要严格证明的数学系难课，更不要说更难的《实变函数论》了。

改变美国历史进程的伟大总统林肯当律师时，为了训练自己分析案件逻辑推理的能力，精读了欧几里得的《几何原本》。这个美国历史上最后一个没有大学文凭的总统，他数学推理的本事很可能比后来那些有博士学位的总统更强。

但是在我们中学所学的初等几何中，给定的几何图形是固定的，故平面几何也可被称为“静态几何”。

世界是随时间的变化而处在不断的运动之中，因此数学园地中的一大块地盘就是要研究随时间而变化的模式、结构或数量。一切数学对象的变化都可被视为时间的函数。如果限制在几何对象的变化，那么根据某种法则将一个几何图形变成另一个同类图形，而让时间演进直至无穷，探究这些图形某些性质的最终性态，是动力系统的一门子学科动力几何的任务。有能力的高中生学习了平面几何后，可以进一步研究迭代三角形或多边形，检视它们的最终形状或其他方面的走向，帮助建立起现代数学中的新观念、新思维。

我们考察下面这个三角形迭代的问题：取一个任意的三角形A₀B₀C₀，作它的内切圆，则三个切点确定一个新的三角形A₁B₁C₁。然后对这个三角形做同样的事，即作它的内切圆，得到的三个切点确定下一个三角形A₂B₂C₂。这个过程周而复始，可以一次次不停顿地迭代下去，就得到一个迭代三角形的序列 { A_nB_nC_n }。很显然，它们的尺寸越来越小，最后将趋向于一个点。但是我们问下面这个问题：这些三角形的形状最终会是怎样呢？假如最终形状是可确定的，它会依赖于第一个三角形的形状吗？

我们再举一个例子。任取一个三角形A₀B₀C₀，作它的内切圆，连接圆心与三顶点A₀、B₀、C₀的三条线段与圆依次相交于A₁、B₁、C₁，它们形成一个新的三角形A₁B₁C₁。然后对后者做同样的事，并一次次地迭代下去。试问这些三角形最终的形状走向是什么？和前一个例子有何共同或相异之处？

对上述两个离散动力几何的例子，平面几何的四点共圆定理和初等代数里的等比数列等内容，加上极限的概念，就能求出问题的解。但是这也给出一个契机，让优秀学生接触到非负矩阵的 Perron-Frobenius 理论。这个以一百余年前的两位德国数学家的名字命名的理论，一般却不出现在大学本科的《线性代数》教材中。在一些矩阵理论的大书里，如 Roger Horn 和 Charles Johnson 的名著 Matrix Analysis（《矩阵分析》），往往也只放在最后的一章。非负矩阵是一类特殊的矩阵，但用途要说多大就有多大。比如说谷歌的创始人Larry Page和Sergey Brin在二十年前引进了“谷歌矩阵”这个全世界最大的矩阵，它就是非负矩阵，即矩阵的每个元素都是非负数。他们运用Perron-Frobenius定理，计算了“网页排序”这个关键的非负向量。今天全世界的网民都是这个向量的受益者。

非负矩阵的初等理论就能毫不费力地回答上述两个关于三角形迭代序列的终结形状问题。但是这个理论对下一个更有趣、导向现代数学分支“分形理论”的“垂足三角形”迭代问题，却“束手无策”。

任取一个三角形A₀B₀C₀，由各顶点作其对边的垂线，其对应的三个垂足A₁、B₁、C₁形成一个新的三角形A₁B₁C₁，称之为原三角形所对应的垂足三角形。然后周而复始一次次地迭代下去。所产生的垂足三角形序列具有怎样的最终形状呢？问题的解答会和前面的类似吗？

自然，欧几里得几何的知识依然有用，由此可以找到一个三角形和它对应的垂足三角形的三个内角和三条边之间的关系。这些关系引出了垂足三角形迭代的许多有趣现象，包括所对应的“垂足三角形映射”的周期性、混沌性和遍历性。“静态几何 + 迭代”思想真的可以导致许多令人销魂的新发现！

动力几何的这些看似简单的问题，许多大数学家都探讨过，包括一百年前剑桥大学数学教授Ernest Hobson（1856-1933；他研究了垂足三角形）、爱尔兰数学家John Synge （1897-1995；他是郭永怀、林家翘、钱伟长的硕士论文导师和后者的博士论文导师；他研究了垂足三角形映射的周期点问题）、美国哥伦比亚大学数学教授Edward Kasner（1878-1955；谷歌的取名灵感来自他和侄子的聊天历史）、第一届菲尔兹奖获得者Jesse Douglas （1897-1965）、样条函数之父I. Schoenberg（1903-1990）、美国布朗大学应用数学教授Phillip Davis（1923-2018）、柯朗数学科学研究所的阿贝尔奖得主Peter Lax（1926-；他研究了垂足三角形映射的遍历性质），以及中国科学技术大学的常庚哲教授（1936-2018）。它们和现代数学的分支动力系统及遍历理论融为一体， 并导向混沌与分形的新发现。例如，下面的基于垂足三角形迭代序列的漂亮图形被它的构造者张新民教授称为“Sierpiński垂足三角形”，这是经典的分形“Sierpiński三角形”的自然推广。

Sierpiński垂足三角形的“分数维数”取决于其外表三角形的内角。当外表三角形为等边三角形时，对应的分形就是100年前的波兰数学学派领袖Wacław Sierpiński (1882-1969) 构造的、现以他名字命名的“Sierpiński三角形”。Sierpiński三角形的分数维数是 ln 3/ln 2。那么，内角为x, y, π-x-y的外表三角形所对应的Sierpiński垂足三角形的分数维数又是什么呢？以初等微积分为兵器，好奇心极强且又训练有素的高中生可以披甲上阵了。

总而言之，“怎样把现代数学的一些思想和理论下放到高中作为初等数学教学的补充和提高”，是十分有现实意义的一项挑战。对高中生中那些真正具有数学头脑的学习尖子，怎样尽早地用现代数学的思想武装他们的大脑，让他们尽快走向当代数学的前沿阵地，以及怎样让部分优秀的数学教师有能力帮助他们成长，非常值得探索。今夏国家四部委专门发出的通知以及近日李克强总理在国家杰出青年基金会议上的讲话，都异口同声地说出了要把数学事业提升到国家科技发展战略地位的意向。要实现科技强国的宏伟蓝图，当务之急是要给青少年中的一批好脑袋优渥的教育资源、强大的师资队伍、先进的教育手段、现代的数学思维，努力让他们迅速起步，继而腾飞，翱翔在广阔无垠的数学苍穹中。

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