游戏里的数学：合成大西瓜之美妙的圆圆相吻

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最近风靡全网的小游戏“合成大西瓜”
撰文 | David Austin翻译 | 丁玖

笛卡尔圆定理

在1643年写给波西米亚的伊丽莎白公主（Princess Elizabeth of Bohemia）的一封信中，勒奈·笛卡尔（René Descartes）描述了如下图所示的四个互切圆半径之间的一种优美关系，这个关系现以笛卡尔圆定理为名。
利用圆的曲率（即圆半径的倒数），我们能最简洁地表达笛卡尔圆定理：将第i个圆的曲率记为b_i，则有
我们将一组四个互切圆称为一个笛卡尔配置（Descartes configuration）。
笛卡尔的关系也适用于如下图所示的其他一些看似有点例外的配置。在左下图，直线的曲率被认为是零，而右下图中的外圆曲率被看成是负的。按照这些约定，笛卡尔的关系仍然有效。

这个定理已数次被独立发现。例如，在18世纪的日本它就被知道。曾因发现同位素而获得1921年诺贝尔奖的化学家弗雷德里克·索迪（Frederick Soddy），也发现了它的一个证明。他对该定理如此满意，以至于将它以一首诗的形式发表出来，诗名为《精确之吻》（The Kiss Precise）。它的开头是这样的：

双唇相交之际， 或许无关三角。四圆互吻却不然， 每个都吻另三个。

在诗歌的第三节，索迪描述了关于五个互切球面的一个类似结果：它们的曲率平方和等于曲率之和平方的三分之一，即

下一年，托洛尔德·戈塞特（Thorold Gosset）添加了诗歌的第四节，描述n+2个彼此互切的（n-1）-维球面曲率之间的关系，即

交换笛卡尔配置

如果我们从三个互切圆（下面用黑色圆圈表示）开始，则可以有两种方式加进红色标记的圆，以构建笛卡尔配置。

这两个新圆曲率之间的关系可以由笛卡尔圆定理来确定。我们将原有三个圆的曲率分别记为b₁，b₂和b₃，将一个笛卡尔配置中的第四个圆的曲率记为x，则有

得到一个x的二次方程

假如将方程的两个根称为b₄和b'₄，我们则发现

特别地，这给了我们一种产生新的笛卡尔配置的简易方法：从某一个配置开始，我们可以删除这些圆其中的一个，它的曲率称为b₄，然后用一个曲率为b'₄=2b₁+2b₂+2b₃-b₄的新圆取代它。
为了用例子说明之，我们从左下图所示的笛卡尔配置开始，其中四个圆的曲率是（2, 2, 3, -1），而曲率为b₄=-1的那个圆将被取代。新圆的曲率是b'₄=2·2+2·2+2·3-(-1)=15，所得到的配置由右下图所示。

这个例子说明了另一个十分显著的事实，它也曾经被索迪注意到：由于b'₄=2b₁+2b₂+2b₃-b₄这个关系，如果原配置中四个圆的曲率均为整数，则新的配置中圆的曲率也为整数。
被交换的两个圆的曲率只是简单相关，而这些圆本身也通过圆的反演而简单地相关。为了描述这一过程，让我们以一个圆心为O的圆开始。在这个圆上反演就像在一条直线上反射：我们将点P送到点P'，使得三点O、P及P'共线，并且两距离OP和OP'的乘积OP·OP'等于于圆半径的平方。
记住我们将直线视为曲率为零的圆，我们就可以说，圆的反演将一个圆转变成另一个圆。然而，反演不保持欧几里得的距离概念，所以圆的反演图像及其半径与之前的通常并不相同。请注意，在同一个圆中反演两次，则将每一个点变回到其原始位置。
现在设想我们有一个笛卡尔配置，并希望在该配置上执行一次交换。如果我们将注意力集中在不变的三个圆（下图中的黑色圆圈）上，就可以通过三个切点画一个圆，即下图中的蓝色圆圈。这个蓝色圆圈中的反演将三个黑色圆圈各自变成自己，但把原始笛卡尔配置中的第四个圆（图中的红色圆圈）和新配置中的第四个圆（图中的另一个红色圆圈）交换。这给出了交换操作的几何实现。在下图中，蓝色圆圈中的反演将两个红色圆圈互换。

阿波罗尼奥斯圈填料（Apollonian circle packings）

我们现在有一种方法可以产生大量的笛卡尔配置。特别地，给定笛卡尔配置，我们可以用上述方法替换配置内的四个圆中的任何一个。这导致了四个新的圆圈和四个新的配置。

当然，我们无疑可以重复这个过程。我们有四个新配置，可以对每个配置执行三次交换（第四次交换将会使我们返回到原始配置）。
然后再次：

再来一次：

无限期地继续下去，我们发现：

这被称为阿波罗尼奥斯填料，以纪念阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262-前190年），他有时也被称为“伟大的几何学家”。阿波罗尼奥斯也许最有名的是他的专著《圆锥曲线》，它研究了由平面与圆锥相交所得到的椭圆、抛物线和双曲线。除此之外，他还撰写了《相切》一书。虽然这本书早已失传，但据说它求解满足各种给定相切条件的圆的构造问题。
如果我们跟踪阿波罗尼奥斯填料中的曲率，我们就会看到下面的数值，其中外圆的曲率为-6。
从其他的配置出发，就会导致如下的阿波罗尼奥斯填料：
这最后四个填料显然具有对称性：以一条水平线反射填料会使它保持不变。如果我们将对称性的概念扩大到包括圆的反演，那么这种对称性只是冰山一角。前面我们看到，将一个配置换成另一种配置可以通过圆的反演来实现。不过，稍加思考，你就会相信这些反演是整个配置的对称性。例如，如果我们在下面所示的蓝色圆圈中反演，该配置将被转为自身。

事实上，这样的对称有很多种，每一种都对应于一个配置和另一个配置之间的交换。例如，下面所示蓝色圆圈中的反演具有将填料从内向外翻转的效果。

强整数阿波罗尼奥斯填料

所有圆的曲率均为整数的阿波罗尼奥斯填料称为整数填料。上面我们已经看到，如果一个填料中的笛卡尔配置之一由四个具有整数曲率的圆组成，那么它就是整数的。
罗纳德·格雷厄姆（Ronald Graham）、杰弗里·拉格里亚斯（Jeffrey Lagarias）、科林·马洛斯（Colin Mallows）、艾伦·威尔克斯（Allan Wilks）和凯瑟琳·严（Catherine Yan）的最新研究，证明了更多的事实。首先，如果我们将圆心视为复数z_j=x_j+iy_j，则笛卡尔圆定理具有拉格里亚斯、马洛斯和威尔克斯所发现的显著推广：
也就是说，如果我们用曲率乘以圆心来代替曲率，笛卡尔圆定理中的关系仍然成立。与以前一样，我们看到在配置上执行基本交换操作时，
这种关系尤其简化了绘制阿波罗尼奥斯填料的过程——一旦我们绘制了初始笛卡尔配置，就可以从笛卡尔的原始关系中容易地找到后续圆的曲率，而从其扩展关系中找到圆心。这比通过如上所述的反演找到新的圆要简单得多。
还可以得出结论：如果在一个配置中每个圆的曲率乘以圆心的坐标都是整数，则它们将在新的配置中，因此填料中的其他配置也是如此。如果一个填料中每个圆的曲率乘以圆心都有整数坐标，则称之为强整数的。
格雷厄姆等人已经证明：

如果我们有一个整数填料，则有一个欧几里得运动（如反射、旋转或平移）将其变为一个强整数填料。

因此，我们可以假设曲率乘以每个圆的圆心都有整数坐标。特别地，所有的圆心具有有理数坐标。

枚举整数填料

我们在上面已经看到一些整数填料的图示。似乎很自然地问我们是否可以创建所有整数填料的清单。当然，如果给了我们一个填料，我们可以产生另一个，只需将所在平面缩放一个因子，例如二分之一。这会具有将所有曲率乘以2的效果。因此，我们将把注意力限制在原始填料上，在原始填料中，任何笛卡尔配置的曲率都没有公约数。
通过将笛卡尔配置表示为四元数组 (b₁，b₂，b₃，b₄)（称为与该配置相关联的笛卡尔四元组），我们可以很容易地用代数方式描述配置上的基本交换操作。例如，可以使用矩阵乘法来描述对配置中的第三个圆执行交换以形成新配置：

我们称这个矩阵为S₃。很显然，我们有类似的矩阵S₁、S₂和S₄。这些矩阵的所有乘积的集合称为阿波罗尼奥斯群，它与上述通过圆反演引入的对称群有关，其元素将填料中的配置进行排列。关键是，阿波罗尼奥斯群为我们提供了一种在填料中把一个配置变到另一个配置的方式。
格雷厄姆等人已经证明，每种填料都有一个特殊的四元组，称为根四元组，可以有效地用来标记填料（上面所示填料下方的标签是它们的根四元组）。根四元组由填料中最大圆的曲率组成，并且存在一种算法，该算法使用阿波罗尼奥斯群生成给定填料中任何其他四元组的根四元组。
格雷厄姆等人展示了如何使用变量的更换来生成根四元组：

在这些新变量中，(a, b, c, d) 定义了笛卡尔四元组的条件可以更简单地表示为

事实证明，当x＜0≤2m≤d₁≤d₂时，(a, b, c, d)恰好是一个根四元组。此外，由于我们只考虑原始填料，因此我们也需要x, m, d₁以及d₂之间没有公约数。
这就提供了一种找到根四元组的方法，从而得到整数阿波罗尼奥斯填料。例如，假设要寻找外圆曲率为a=-n（n为非负整数）的阿波罗尼奥斯填料，则我们需要找到n²+m²=d₁d₂和的0≤2m≤d₁≤d₂解 (m, d₁, d₂)。
兹举一例，当a=-2时，我们需要找到 (m, d₁, d₂)，使得(2, m, d₁, d₂)没有公约数，4+m²=d₁d₂及0≤2m≤d₁≤d₂。一点点的试验表明，唯一的可能性是m=0，d₁=1及d₂=4。这就生成了唯一的根四元组，从而生成唯一的整数阿波罗尼奥斯填料，其边界圆的曲率为-2。

格雷厄姆等人给出了满足a=-n（n任意）的根四元组个数的一个精确说明。‍

作者简介：David Austin 1989年博士毕业于犹他大学，1990-1999年间任教于不列颠哥伦比亚大学，从1999年至今任教于大峡谷州立大学数学系。

译者简介：丁玖，南密西西比大学数学系教授，《数学文化》编委。

本文经授权转载自微信公众号“数学文化”，原标题为《圆圆相吻》，在2006年三月发表于http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarckissing.

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