默然纯粹映秋水丨纪念量子力学奠基人狄拉克诞辰120周年

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撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所）

I have an equation. Do you have one too?

——Paul Adrien Maurice Dirac^[1]

摘要   狄拉克是物理学史上的一座丰碑，思想深邃，风格轻灵，表现出典型的英伦数学物理传统。狄拉克方程是内含四元数和旋量的量子力学方程，由此而来的反粒子概念拓展了微观粒子的世界。狄拉克的著作风格被杨振宁先生誉为“秋水文章不染尘”，其对量子力学、量子场论、广义相对论、旋量理论、电磁学的阐述都是经典之作，特点是简明易懂。尤其令人敬仰的是狄拉克的纯粹心灵，他始终关注的是物理学本身而非物理学 (者) 的社会内容。狄拉克沉默寡言，作为社会学单位的狄拉克 (1 狄拉克=1字/小时) 也许是狄拉克留给人类社会的最有趣的贡献。01
引子
量子力学是人类二十世纪最伟大的思想成就。粗略说来，量子力学的大致框架由作用量量子h (光能量量子为E=hv)，正则量子化条件 (x, p)=iћ 以及由此而来的动量的算符表示，薛定谔方程 (1926)，泡利方程 (1927)，狄拉克方程 (1928) 这些内容构成。配合偏微分方程、线性代数与线性空间理论、算子代数、谱理论、变分原理、复数、复变函数、群论、旋量理论等方面的数学基础知识，就能谈论初等量子力学了。量子力学的建立得益于二十世纪初一批物理学家的头脑风暴。置身于量子力学的一众奠基者中，狄拉克依然是才华卓越、风姿超群的那位。
02
狄拉克小传
狄拉克 (Paul Adrien Maurice Dirac, 1902.08.08-1984.10.20) 出生于英国布里斯托一个普通家庭。狄拉克的母亲是英国人，父亲是来自瑞士，1919年才归化英国。笔者记得曾读到过，狄拉克祖上源自法国香槟省的某个地方。类似德语的Donau (多瑙河)、 Aarau (爱因斯坦在瑞士上中学的小镇) 里的-au是草地，汉语张庄、赵庄里的‘庄’是村子，法语的-ac也是用来标记地名的，据说狄拉克祖上所在那一片的村子包括著名的Cognac (干邑白兰地) 和Cadillac (卡迪拉克车)，当然还有 Dirac村。狄拉克的父亲在中学教法语，在家里要求孩子说法语。由于法语语法实在是繁琐，异国的孩子，或者说孩子在异国，很难把法语说完美了。狄拉克的父亲对待孩子过于严厉，孩子法语说得不正确是要受体罚的。因为害怕法语说得不对会挨打，狄拉克小时候就尽可能避免说话，这让他养成了沉默寡言的习惯 (图1)。有文献称，狄拉克在剑桥的同事打趣建议把狄拉克当成计量单位，用来表征人的健谈程度， 1 狄拉克=1字/小时 (1 Dirac= 1 word per hour)。笔者斗胆地说，沉默寡言可能有助于进入深度思考的状态，是好事儿。子曰：“君子欲讷于言而敏于行”，这话是有道理的。
图1.  五岁时的狄拉克
狄拉克1921年毕业于布里斯托大学学电气工程。由于第一次世界大战后经济不景气，狄拉克毕业后没能找到一份工程师的工作，于是继续在布里斯托大学学习数学——笔者以为这是成就狄拉克在科学史上地位的关键因素。1923年，狄拉克获得了剑桥大学的奖学金进入剑桥，师从 Ralph Howard Fowler ，于 1926年获得博士学位，论文题目就简单的两个字 “Quantum Mechanics” (图2)。笔者猜测这应该是历史上题目最短的博士论文吧。狄拉克的博士论文72页，里面不仅有一般算符的量子对易式，还有量子统计的内容，后来被命名为费米-狄拉克统计。狄拉克的博士论文在欧洲大陆引起了强烈反响，包括引起了爱因斯坦的注意。爱因斯坦谈论狄拉克的论文，“I have trouble with Dirac. This balancing on the dizzying path between genius and madness is awful (那个狄拉克让我感到困惑。在天才与疯狂之间令人晕眩的小路上的平衡，太酷了)”。数学不是很强的人读狄拉克的论文，容易有这种感觉。
图2. 狄拉克博士论文的首页
狄拉克在1933年因“发现原子理论的富有成果的新形式 (for the discovery of new productive forms of atomic theory) ”获得诺贝尔物理奖，那时他依然连个女朋友都没有，这就留下了物理学史上一桩非常有趣的轶事。1933年，分享当年诺贝尔奖的薛定谔、狄拉克和1932年诺奖得主海森堡在火车站碰头时照了一张合照 (图3)。照片中，还有三位女士，一位是薛定谔的妻子，其他两位则分别是海森堡的妈妈和狄拉克的妈妈。一个剑桥大学卢卡斯讲席教授、诺奖得主连个女朋友都没有，也确实让朋友们操心。热心的著名数学物理教授维格纳（Eugene Wigner, 1902-1995）把自己的妹妹介绍给了狄拉克。狄拉克于1937年结婚，与妻子厮守一生。

图3. 1933年狄拉克、海森堡和薛定谔领诺奖前的合照。左起：海森堡妈、薛定谔妻子、狄拉克妈、狄拉克、海森堡、薛定谔

1932年到1969年狄拉克是剑桥大学的卢卡斯讲席教授，那是牛顿曾占据的位置。1970年，狄拉克定居于美国弗罗里达州，在那里的迈阿密大学和佛罗里达州立大学讲学和研究。狄拉克1984年逝世于弗罗里达的Tallahassee,  并葬在那里。狄拉克的墓地是值得后世物理学家朝拜的地方，纪念碑上刻有著名的狄拉克方程的简写形式  (图4)。略复杂一点的、指明其是 (3,1) 维时空上一阶微分方程的狄拉克方程形式见图5。为了纪念狄拉克，后人设立了不少以狄拉克命名的奖项，比如英国物理协会 (Institute of physics) 设立的狄拉克奖，其目的为表彰获奖人“对理论物理的杰出贡献”。
  图4. 狄拉克的纪念碑，上面刻有狄拉克方程
图5.  笔者在电子白板上写下的标准形式的狄拉克方程03
独具一格的研究方式
狄拉克对量子力学，包括量子统计，的贡献是多方面的，此处无法一一详述。兹基于笔者的个人理解转写两例。1925年9月，导师把海森堡1925年7月29日提交的一篇论文 (Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen (论运动学与力学关系的量子理论诠释), Zeitschrift für Physik, 33, 879-893, 1925.  此文为玻恩、海森堡、约当的矩阵力学三部曲的第一篇) 交到狄拉克手里，让他研究研究。在海森堡的这篇文章里有对易关系式 (x, p)=xp-px=iћ。狄拉克迅速认识到，量子对易关系和经典力学的泊松括号很相似。狄拉克问自己一个问题，量子力学中一般力学量之间的对易关系该是什么样的？从泊松括号出发，狄拉克演算泊松括号[u₁u₂, v₁v₂]， 得出了[u, v]/(u, v)是普适的结论。比照(x, p)=iћ, [x, p]=1，于是有结论(u, v)=iћ[u, v]。让笔者震惊的是，狄拉克此处一上来就是“开拓性”地开展研究，就是那种没有路就趟出一条路的感觉。笔者觉得，自打泊松括号于1809年被引入至今，想到过要计算和计算过[u₁u₂, v₁v₂]的，可能就狄拉克一人。所谓“亘古一人”， 看看狄拉克我还真就信了。
1928年，狄拉克着手构造相对论版的量子力学波动方程，为此要从相对论能量关系出发，要满足哈密顿量H  (对应能量E) 在方程中以线性形式出现的要求。狄拉克认识到要做形式的展开，为此要引入满足条件的数^[2]。一通操作后，狄拉克得到了狄拉克方程 ，这是 (电子的) 相对论性量子力学方程，其中程是狄拉克矩阵 (4×4的矩阵)。关于这个构造过程的具体细节，狄拉克在《量子力学原理》一书的第11章有详细的描述。狄拉克方程中的波函数是四分量的。为了诠释狄拉克方程及其解，狄拉克于1931年提出了正电子 (positive electron, positron)的概念。1932年，正电子被观察到 (图6)。正电子的概念后来拓展出了反粒子和反物质的概念。笔者大胆设想，狄拉克的这段故事，应该纳入我们的少年读本，要让我们的少年明白，你可以有创造的自觉。
图6. 1932年秋在宇宙射线撞击原子核实验中观察到的电子-正电子对产生事件
就狄拉克创立相对论量子力学方程的工作，杨振宁先生说他曾长时间考虑也找不到恰当的评价表达，直到他读到了高适在《答侯少府》中的诗句：“性灵出万象，风骨超常伦。” “我非常高兴，觉得用这两句诗来描述狄拉克方程和反粒子理论是再好没有了：一方面狄拉克方程确实包罗万象，而用“出”字描述狄拉克的灵感尤为传神。”
04
独具一格的表述方式
沉默寡言的狄拉克是杰出的、独具一格的物理学表述者。那个点状分布函数，虽然在20世纪初爱因斯坦就将之应用于统计物理，但是却被命名为狄拉克函数，或者狄拉克δ-函数。狄拉克δ-函数，定义为当且仅当x=0时δ(x)≠0，且。狄拉克在表达一些状态矢量的归一化时用到了这个函数，并引入记号δ(x)。狄拉克δ-函数可理解为总量一定的量 (unit impulse) 集中于一个无穷小的区域，经常会被用一些有一定宽度的连续函数取代，其中 a 是个参数，只要，且当 a→a₀ 时只有 f(0, a₀)≠0。如果要描述一连串等间距的这样的分布，可引入函数，称为狄拉克梳 (Dirac comb)，见图7。狄拉克梳是非常重要的等间距无穷大势垒散射问题的模型体系。狄拉克引入的一个重要符号体系是表示量子态及其共轭的符号  (ket) 和   (bra)， 他将之命名为 bra 和 ket ， 其实就是将英文bracket (括号) 拆成两半。不要小瞧这个记号，它极大地方便了量子力学的计算。比如， 一个简单的就说清楚了本征量子态构成完备集的要求。图7.  故宫屋檐的冰溜子，妥妥的狄拉克梳的具象化

仅仅引入两个符号体系当然不足以支撑一个人的物理巨擘地位，狄拉克还是物理学的传播者和表达者 (图8)，而且很多内容是他个人的创造。狄拉克给我们留下的物理学著作名录如下：

1. The principles of quantum mechanics (量子力学原理), 1930；2. Lectures on quantum mechanics (量子力学讲义), 1966；3. Lectures on quantum field theory (量子场论讲义), 1966；4. Spinors in Hilbert space (希尔伯特空间里的旋量), 1974；5. General theory of relativity (广义相对论), 1975；

6. Directions of physics (物理学的方向), 1978；

这里的每一篇都是经典之作。笔者仔细读过的两本为《量子力学原理》(图9) 和《广义相对论》(图10)。可能是因为狄拉克对物理的理解太通透，他的著作的一大特点是思路清晰。杨振宁先生说狄拉克的文章是“秋水文章不染尘”，笔者以为此乃描述而非赞誉。笔者初读狄拉克的《量子力学原理》时是在上世纪八十年代末，对其风格非常不习惯。很久很久以后我才明白，狄拉克的《量子力学原理》不是课本 (textbook)，他是以一个量子力学奠基人的身份在给你讲述量子力学被创造的过程，娓娓道来，仿佛是在叙说从来就有的一个故事或者传说。
从追寻真实的学问创造过程的角度去读《量子力学原理》，便能理解这本书对物理学家教育的意义。愚以为，这本书的一个重要意义在于提醒你，你也可以把自己摆在未来学问创造者的位置上去学习学问。《量子力学原理》一书第一次印刷是在1930年5月，那时的狄拉克博士还不足28岁。
图8. 正在讲授两粒子体系量子力学的狄拉克教授
图9. 狄拉克1930著 《量子力学原理》
图10. 笔者打印的狄拉克1975年著《广义相对论》
《广义相对论》是狄拉克1975年在美国所作，那时候他早已是物理学界的泰斗，对于所有的理论知识应该说他都是炉火纯青。《广义相对论》短短的69页，但确实把关于广义相对论该说的，从弯曲空间的矢量平行移动、张量的正则和表示到爱因斯坦场方程以及引力波为什么自旋为2，都说清楚了。
05
多余的话
狄拉克是那种可以称为数学巫师 (mathemtatical wizard) 的物理学家，秉承了牛顿、哈密顿、克里福德、开尔文爵士等一路传承下来的英伦数学传统。孕育思想，用清晰的、有时候必须是新创的数学表达出来，最后带来崭新的物理，这样的二十世纪的物理研究风格见于爱因斯坦、狄拉克、杨振宁先生的成就中。这种的研究方式具有强烈的个人主义色彩，作为一个思想者，孤独的思想者，沉默的思想者，让狄拉克们具有独特的人格魅力。与爱因斯坦、狄拉克、杨振宁先生这样的独行侠相比，便是索末菲、玻恩、朗道这样的学派领袖毕竟稍嫌逊色一些。于思想者而言，学派总未必是体面的事情。
狄拉克的个人魅力更在于其鲜有其匹的纯净心灵，他被誉为 “科学界的莫扎特”(The Mozart of science)，“物理学界最纯粹的灵魂” (The purest soul in physics)。狄拉克是个淡泊名利的人，他把费米-狄拉克统计称为费米统计^[3]，把海森堡图景下的算符运动方程称为海森堡运动方程 (Heisenberg equation of motion)，但这方程却是他推导出来的。在狄拉克的论文、讲座和著作中，你看到的只是自然之理和自然之美，却没有一点学问以外的杂质。他于1955年在莫斯科大学的黑板上写下的口号“物理定律要具有数学美” (Physical laws should have mathematical beauty) 是对到那时三百余年的数学物理的简明总结，也是为未来理论物理发展定下的格调。
想起了拉普拉斯的一句话，“阅读欧拉，阅读欧拉，他是我们所有人的导师！”在如今这个技术超越了神话的时代，量子力学应该成为受教育者的知识标配。在纪念狄拉克诞辰120周年的日子里，让我们也阅读狄拉克，在领略自然的理性之美的同时， 也学着建立起一个知识创造者的自觉。

参考文献

1. Helge Kragh, Dirac: A Scientific Biography, Cambridge University Press (1990).

2. Graham Farmelo, The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Mystic of the Atom,  Basic Books (2009).

3. Abraham Pais, Paul Dirac: The Man and his Work, Cambridge University Press (1998).

4. Behram N. Kursunoglu, Eugene P. Wigner (ed.), Reminiscencese about a great physicist: Paul Adrien Maurice Dirac, Cambridge University Press (1987).

5. Helge Kragh, Varying gravity, Dirac's legacy in cosmology and geophysics, Birkhäuser (2016).

注释

[1] 我有一个方程。你也有吗？见于 Anthony Zee, Quantum field theory in a nutshell, Princeton University Press (2010). 

[2] 德国人Hermann Grassmann (1809-1877)早准备好了这样的反对称的数 [3] 对称地，他称玻色-爱因斯坦统计为玻色统计。物理上一直把玻色-爱因斯坦统计同费米-狄拉克统计看作是对称的、对等的，对此笔者不敢苟同。容笔者有机会专文讨论 

出品：科普中国

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