牛顿是如何发现二项级数的？

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重新思考问题和寻找规律，指引牛顿找到了曲线和无穷和之间的联系。

撰文 | Steven Strogarz

编译 | 冶无情

审核 | 暮大河

Isaac Newton（艾萨克·牛顿）并不以慷慨大方著称，并且他对对手的蔑视也堪称传奇。但他在一封给他的竞争对手Gottfried Leibniz（戈特弗里德莱布尼茨）的信中—现在被称为后书信（Epistola Posterior），牛顿表现出怀旧和近乎友好的态度。在信中，他讲述了他学生时代的一个故事，当时他刚刚开始学习数学。他讲述了他是如何通过猜测和检查的过程，将曲线下的面积与无限和等同起来的重大发现。他在信中的推理非常迷人且易于理解，它让我想起了小孩子喜欢玩的看数字猜规律游戏。
这一切都始于年轻的牛顿阅读John Wallis（约翰·沃利斯）的《无限算术》（Arithmetica Infinitorum），这是一部17世纪数学的开创性著作。沃利斯使用了一种新颖的归纳方法来确定π的值，而牛顿想设计类似的方法。他从寻找可调宽度x的“圆形段”面积问题开始。曲线定义为:
 即单位圆在水平轴从0到x之上的区域。这里x可以是从0到1的任意数字，其中1是圆的半径。牛顿很清楚单位圆的面积是π，所以当x = 1时，曲线下的面积为单位圆的四分之一，即π/4。但对于其他x值，我们一无所知。

如果牛顿能找到一种方法来确定每个可能值x下的曲线面积，这可能会给他提供一种前所未有的逼近π的方法，这原本是他的宏大计划。但在此过程中，他发现了更好的事情：一种用无限多由x的次幂构成的项，来替换复杂曲线的方法。
牛顿的第一步是通过类比推理。他没有直接针对圆形线段的面积，而是研究了由以下曲线界定的类似线段的面积：牛顿知道这些曲线在整数次幂下的面积（例如0/2=0, 2/2=1）会更容易计算，因为整数次幂在代数形式上会更简单，例如，

相似的有，

并且
但是对于圆的方程没有这样的简化:

对于其他具有半次幂的曲线也是同样的。在牛顿那时，没有人知道如何求出它们区域下的面积。幸运的是，具有整数幂的曲线下区域的面积是可求的。例如取曲线 y₄=1-2x²+x⁴，当时有一个众所周知的法则让牛顿（和其他任何人）对于此类函数快速求出其面积：对于任何整数幂n≥0，曲线y=xⁿ，从0到x区域的面积为(xⁿ⁺¹)/(n+1)（沃利斯-Wallis用他的归纳法猜到了这条法则，而费马-Pierre de Fermat确凿地证明了这一点）。有了这条规则，牛顿知道曲线y₄下的面积为

同样的法则允许他求出在上面列出的曲线中，具有整数幂的曲线面积。让我们把曲线y_n下的面积记为A_n，其中n=0,1,2...使用上述法则，得：

诸如此类。牛顿的初步想法是希望能基于其他式子的表达式填补空白，进而猜到A₁（即圆形部分未知区域）的表达式。有一件事立刻可以看出来：每一个A_n都是从x开始的。这暗示我们或许可以像这样修改公式：

然后，为了填补下一批的空白，牛顿看了看带有x³的这一项。有了点经验，我们可以看到，甚至A₀也有三次项，因为我们可以将其重写为正如牛顿向莱布尼茨解释的那样，他观察到“第二项是等等，是等差数列”（他指的是分子中的 0、1、2、3）。他怀疑这个等差数列也可以拓展到非整数次幂的表达式中，牛顿猜测整个序列，无论是已知的还是未知的，都应该是差一个。“因此，他感兴趣但仍然未知的A₁, A₃, A₅的前两项”—“应当分别是：

因此，这个规律提示了牛顿：A₁应该有着下列形式：

这是一个好的开始，但牛顿还需要找到更多的规律。当他寻找其他规律时，牛顿注意到方程中的分母总是递增的奇数。例如，A₆中，其分母中有 1、3、5 和 7。A₄，A₂也有着相同简单的规律。这种规律显然对于所有式子的所有分母都成立。
剩下的就是在分子中找到一个规律。牛顿观察A₂, A₄和A₆，又发现了一些东西。在中，他看到了一个1乘以x 和另一个项1/3 x^3（暂时忽略它的负号）。在 中，他注意到了这个式子的分子为：1, 2, 1 。而在，他注意到这个式子的分子为：1, 3, 3, 1。这些数字对于任何研究过帕斯卡三角形的人都应该很熟悉，帕斯卡三角形是顶端为1的三角形数字排列，最简单得到帕斯卡三角形的方法是将上面的数字相加。
牛顿没有用帕斯卡三角形，而是将这些分子作为“数字11的幂”。例如，11²=121,这是帕斯卡三角形中的第二行，11³=1331,这是第三行。如今，这些数字也被称为二项式系数。当你扩展二项式的次幂时，例如(a + b)，就会出现：

有了这个规律，牛顿现在掌握了一种写出A₂, A₄, A₆的简单方法，甚至包括所有下标为偶数的A方法。接下来，为了将他的结果推广到半幂和奇数下标（然后最后得到他想要的A₁)，牛顿需要将帕斯卡三角形推广到一个奇妙的新状态：在两行之间，添加一个新行。为了进行推广，他推导出了帕斯卡三角形中任意给定行为m的二项式系数的一般公式，然后大胆地令m=0.5。令人惊讶的是，它奏效了。这也就给出了他想要的A1的序列。用牛顿自己的话来说，这里是他对莱布尼茨在论证的这个问题时归纳出的规律的一个总结：
我开始反思，分母1、3、5、7等等，是等差数列，所以只有分子的数值系数还需要研究。但在我们已经知道的一些地方，这些是数字 11 的幂数……即第一个“1”；然后是'1, 1'；第三个是'1、2、1'；第四个是'1, 3, 3, 1'; 第五个是'1, 4, 6, 4, 1'等，所以我开始研究如何从前两个给定的数字推导出该序列中的剩余数字，我发现，只要在下面这样的式子的每一项分子上添加一个m，剩余序列的未知部分，也就是该级数的连续乘法产生的项即可得出：

因此我在序列之间插入序列的时候应用了这一规律，因为对于圆，第二项是1/3(1/2x³), 然后令m=0.5，产生的项为：


一直到无穷大。从这里我开始明白我想要的圆形部分的面积是：

最后，通过带入x =1，牛顿可以获得π/4的无限和。这是一个重要的发现，但事实证明，有更好的方法可以通过无限和来近似 π，正如牛顿本人在最初尝试这种类型的无限和（现在称为幂级数）后很快发现的那样。最终他计算出圆周率的前 15 位数字。
回到圆弧的问题，牛顿意识到圆本身的方程（不仅仅是它下面的区域）也可以用幂级数来表示。他所要做的就是省略分母并调整x的幂级数，使得分子显示中 1。因此他被引导到：

为了检验这个结果是否有意义，牛顿把它乘以了它自己：“它变成了1-x²，剩余的项随着级数的延续到无穷而消失。”
“If a problem is too hard, change it. If it seems too specific, generalize it.”
不用那么在意于细节，我们在这里学到了一些解决问题的方法。如果一个问题太难了，那就改变这个问题。如果它看起来太具体，那就抽象概括它。这两者牛顿都做到了，并得到了比他最初寻求的更重要并且更有力的结果。
牛顿并没有执着于着四分之一圆。他考虑着一个更一般的形状，一个宽度为任意值x的圆形部分. 而不是只盯着x=1，他允许x从0到1变化。这揭示了他的数列中系数的二项式特征——帕斯卡三角形中数字的意外出现及其概括——这让牛顿看到了沃利斯和其他人错过的规律。看到这些规律后，牛顿获得了更广泛和更普遍地发展幂级数理论所需的洞察力。
在他后来的工作中，牛顿的幂级数给了他一把用于微积分的“瑞士军刀”。有了它们，他可以做积分，求代数方程的根，计算正弦、余弦和对数的值。正如他所说，“在幂级数的帮助下，我几乎可以说，我可以分析解决所有问题。”
“Changing a problem is not cheating. It’s creative. And it may be the key to something greater.”

改变问题不是作弊。这是一种创意。并且它很可能是解决更重要问题的关键。

本文经授权转载自微信公众号“热知”。

编译来源：
https://www.quantamagazine.org/how-isaac-newton-discovered-the-binomial-power-series-20220831/

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