菲尔兹奖得主皮埃尔-路易·利翁：数学研究如警察办案

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一位获得菲尔兹奖的数学家，世人很难不说其是天才，但皮埃尔-路易·利翁自己并不承认。数学家是什么样子的？皮埃尔写下自传《一个数学家的自画像》（Dans la tête d'un mathématicien），告诉我们“没有人真正理解数学”。因为不解，所以探索，这就是他精彩人生的一部分。对于数学研究本身，皮埃尔也有着很个性的观点，数学研究如警察办案——把线索串联起来，而直觉也起着重要的作用。

撰文 | 皮埃尔-路易·利翁翻译 | 法临婧
皮埃尔-路易·利翁（Pierre-Louis Lions，1956-），1994年菲尔兹奖得主，他是2010年菲尔兹奖得主塞德里克·维拉尼（Cédric Villani）的博士导师。︱图源：ias.cityu.edu.hk


数学家的生活和普通人并无差别

在国家博士论文答辩的两天后，我与日后成为我儿子母亲的女人结了婚。我秉承了自己接受的教育中关于工作和私生活之间需要有个优先顺序的观念：家庭应该在人类的生活中占据主导。此外，工作和生活之间健康的平衡需要各种活动和娱乐。尽管我热爱数学，但从没打算把它当作人生中的唯一。作为一个年轻的科研人员，我同样对电影、音乐、文学保持着浓厚的兴趣；我也从未错过一场欧洲六国橄榄球赛，不管是电视转播的，还是现场进行的。橄榄球承载着我所认同的价值观，其中之一我自己一直身体力行，那就是集体的重要性。
数学研究绝非一项个人体育运动。就像我所提到的，那种疯狂科学家把自己锁在家或办公室里，终日拉着百叶窗苦攻方程式的神话已经不复存在。研究人员是以团队为单位展开工作的。他们会与研究其他课题的同事进行交流，那些同事又会在实验室内外开设讲座，从而接触到国内外同行——甚至一些知识渊博的业余爱好者的观点，以此来丰富自己的研究兴趣。我十分喜欢自己的工作中关于团队合作的这一方面，并在职业生涯的初始阶段就躬行实践了。很抱歉又一次打破神话，但一个高级数学家的生活与成千上万的劳动者其实并无差别。
尽管如此，数学家的日常工作有着两个令人十分愉悦的特点，这是其他职业——哪怕是其他领域的科学家——无法比拟的。首先，数学家的工作能够在没有任何硬件支持的情况下进行，电脑或复杂的机器都不是必需的，某些情况下甚至不需要纸笔！因为在被转化成方程式之前，数学首先是思维锻炼的产物，这一点还是容我们稍后再谈。由此衍生出的第二个特点是，我们的工作不需要特定的场所，无论何时，无论何地，不管是在办公室还是在火车上，抑或夜晚躺在自己的床上……这是幸运的，同时也是不幸的。我身边的很多人常常为此对我抱怨，因为我有时会毫不夸张地与现实脱节，而这让他们相当恼火。比如，我经常大清早在淋浴间一待就是半个小时，忙着构建一个睡醒时突然想到的有趣推理。在我的家人眼里，这绝对算不上什么好事。


专注的思考

那么，当我思考问题的时候，我的大脑里到底发生了什么呢？想要解释清楚并不容易。我陷入沉思时的状态十分接近于冥想。那是一种绝对的专注——1小时转瞬即逝，仿佛只过了5分钟。有时我会放些背景音乐，但自己是听不到的，因为我全身心地投入到了那一刻的思考当中。全家一起吃饭时，我又会不时陷入沉思，家人经常带着审查员一般的目光询问我：“你到底有没有在听我讲话？”过去、未来，萦绕在我周围的人、声音、物体……思考时，一切都是不存在的。
那么，我思考的时候又具体看到了些什么呢？还是让我们放弃那些关于数学的常见误解吧：我既看不到任何数字，也看不到任何图形。我不研究几何，也不是代数学家。我的工作是数学分析。给我的工作在视觉上、精神上以支撑的是方程及其解法，也就是它们彼此之间的各种函数及不等式。它们使用的符号通常取自希腊字母，其中许多由德国人戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）—一位17世纪末杰出的多面手所创造，今天仍被人们用于数学分析。我试图像个登山者那样，采用全新的、未经探索的方式来攻克这些方程，为此我会使用各种科学操作、评估或计算方法，这些术语往往被人们错误地与单纯的数字化操作联系到一起，但那些东西在我的方程式中并不存在，或寥寥无几。
我工作的习惯大约是这样的：我先把方程或要处理的问题写在一块黑板上、一张纸上、我的电脑里或一张表格上，之后试着用第一种方法展开论证。这一过程往往漫长而复杂，在整体验证了所得结果的合理性和一致性后，我会将其分割成几个部分并加以记忆。接着，我在脑海中想象着同一张表格，一个接一个地写出公式，对每一个步骤进行必要的操作和计算——就像建筑架构那样。整个过程中我会锁定一些中间环节，它们犹如坐标，时刻提醒我处于正确的轨道上。有时我也会跳过一些我认为容易或可行的步骤。一旦完成了这项基本的脑力工作，部分或完整的架构也就呼之欲出了。接着，我将对草稿上得出的各种要素加以说明，详细罗列脑海中每一个步骤所需的运算和操作。当然，大多数情况下我会发现其中的错误，它们有时能让我更好地理解问题，但无论如何，论证必须重新开始。有时甚至方法都需要重新尝试……


数学研究如“警察办案”

我绝不认为自己是个天才，也不希望被人当成天才，但必须承认，记忆力超群这一优势时常让我感到如虎添翼。很多数学家都有一副好记性，但也不是所有人都有。这一特点还让我们得以最大限度地享受数学工作者这一职业所带来的逻辑的灵活性。比如在职业生涯的早期，我也明白为保证充足的睡眠应该避免晚上工作，而晚饭时开始推导公式很容易导致失眠。因为我一向能够在任何情况下快速、轻松地集中精力，但脱离这一高度集中的状态却很困难。不过随着年龄的增长，我还是学会了从数学的经纬网络中迅速抽身。
数学非常适合这种近乎冥想的智力训练，因为我们的大脑能够与它完美契合。人类的大脑喜欢结构，即使在结构不存在时也能见微知著，通过概念和系统进行推理。给它一张像拼图游戏那样切成小块儿的照片，它就会千方百计去重现原始图形。而数学的任务只有一个：它在不同的概念之间穿针引线，将各种结构汇集起来，最终形成一个连贯的整体。它能识别拼图的碎片，从而将其拼成完整的照片。一张也不多，一张也不少。
“警察办案”是另一个在我看来很适合描述这一工作的例子，这个比喻不仅贴切，而且与我对惊悚片的喜好相得益彰。当受害者的身份得到确定后，到底谁才是罪魁祸首呢？我们将就此展开调查、寻找线索，把一个个线索联系在一起，再一项项地验证假设，直到最终锁定肇事者和犯罪现场。高等级数学的难点在于我们需要同时调查10~20起犯罪，因此，组织意识和清晰的思路都是必不可少的。
之前已经提到过，我工作的各个环节中有一部分远远超前于其他，它承载着我的全部思考，就像一个基座一样。一旦确立好方程，我就会展开自己的调查策略：我会把这个问题或它的一部分牢牢握紧，然后翻来覆去地对它又拧又摇！我的目的是找到一个突破口—一个全新的、前所未有的切入方式。这有点像我把一个物体或形状在内心中展现出来，然后试着从另一个角度对它进行观察，但具体来说，我又没有看到任何物体或几何形状，在我的脑海中以非视觉化的方式呈现出来的只是一些方程、一些不等式或数学公式而已。
就像任何警察办案一样，直觉在这里发挥着重要的作用。我是一个直觉型的人，这是我在好记性以外的另一大优势。所有让我得到认可并为我的职业生涯指明方向的工作都有一个共同点，那就是它们都始于直觉。比如，当我遇到一个问题或问题提交到我面前的时候，我立刻就会意识到它有一个解法，而且是可以实现的。但应该怎么做，又需要使用哪些工具……？我并没有头绪。我只是确信解法确实在某个地方存在着，哪怕需要花点时间来寻找。我在可压缩流体力学方面有过一项广为人知的成果，它最初就是源于一个简单的直觉，但我却耗费了整整9年才达到预期的结论。不过，整个过程中我对成功从未有过动摇。直觉很少让我失望，它真的是功不可没。
在阐明数学家工作的类比游戏中，除了之前提到的警察办案，还有另一个十分恰当的例子——下国际象棋。解方程就像下国际象棋，我们需要努力预测自己每走一步可能产生的后果，并提前应对对手可能作出的反应。这一隐喻又引出了另一个更深层次的问题：谁是我们的对手？


数学就是大脑的运转

围绕着这个疑问，让我来具体谈谈自己关于数学基本性质的看法吧。有些科学家或哲学家有着某种柏拉图式的数学观，他们认为数学的存在先于人类的源起。换句话说，数学在遥远的蒙昧时代就已存在，数学家的游戏就是掀起它的神秘面纱，将其呈现给我们这些凡夫俗子的大脑。尽管我不怎么相信，但也可以说，无论是从宗教意义上还是更加平凡的意义上来看，棋盘另一边的对手正是上帝——那位宇宙杰出的建筑师。
这种形而上学式的数学观我并不十分赞同，当然也不打算全盘否定。没有人能在这个问题上提出决定性的论点，但它不符合我的无神论思想，也不符合我脚踏实地的性格。尽管如此，我发现自己喜欢凝视“结构之美”——一个数学公式的美，并为之着迷。在那神奇的一刻，一切都水乳交融，以如此和谐的方式闪着光，甚至让人感到辛苦计算出来的结果其实一直都在那儿。它被销子锁着，隐匿在阴影里，它就那么静静地等待着，等着一个多少受到启发的灵魂拿着正确的钥匙前来，好向他展示自己……不过，就算我能体验到这种强烈的、令人眩晕的感受，我还是会给它提出一种不那么华丽的解释：那是我们的大脑在运转，而我又不懂它运转的机能。这使得我的言论颇具争议性，甚至可能是相当荒谬的。
在我看来，人类的大脑有两个特点，它同时促进数学推理和那种有时会相伴而生的唯美的晕眩。第一点我已经简单谈过：我们的大脑对各种概念有着与生俱来的喜爱，面对种种彼此间多少有所关联的信息，它会努力将其分区整合，由此找出其中隐藏的、具有一致性的结构。例如，人人都理解“狗”这一概念，即使狗有数百个不同的品种。面对一个不熟悉的品种时，我们的大脑依然能够联系各种线索，从而得知自己是在与一条狗打交道。这是一种由点到面、在各种联系间穿针引线的能力，而它恰恰是数学推理的根源。
至于第二个特点，应该说我们的大脑是一个奇妙的快乐制造机。这种关于美与和谐的感受伴随着发现油然而生，虽然它被一些人解释为上帝的气息，但在我看来，那只是为了回报我们的努力而自然产生的某种化学反应。话虽如此，我还是要再重复一遍：这只是一种信念而已。因为我和那些持相反观点的人都无法在这个问题上证明任何事情。何况我也不是神经科学或心理学方面的专家，而且我经常告诉自己，哪怕是对数学我也不太了解……
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本文节选自《一个数学家的自画像》（文汇出版社·贝页，2023.2）第七章《通往麦迪逊数学研究中心之路》，小标题为编者所加。

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