你中有我，我中有你，你就是我

本文为系列文章 “无穷集的基数” 的第二篇。该系列文章讲述无穷集之间的大小区别，有助于理解后续学习中经常遇到的数学运算。

系列文章：

所需知识：单射，集合运算

在前面系列文章《学校有给你讲过无穷集吗?》里，伯恩斯坦指出：不可能出现既有  同时又有  的情况，从而可以给出无穷集基数的定义。这篇文章我们讲讲定理的详细证明过程，先给出定理的具体描述：

伯恩斯坦(Bernstein)定理

若集合  与  的一个真子集对等，同时  与  的一个真子集对等，则  与  对等。

条件中提及，集合  与  的一个真子集对等，说明存在：

  是单射，且  

类似的，也存在：

  是单射，且  

不知道什么是单射？快去查 。大致情况如下图所示：

1. 证明思路

伯恩斯坦定理的结论说，“存在” 一个从  到  的 “一一映射”。明显地，这个映射只能从  和  入手：想办法法由映射  和  来构造从  到  的一个一一映射。

由于  无法填满  ，映射  只能实现  与  的一一对应，只好考虑缩小  ，把剩下的部分交给映射  实现。

也就是说，考虑  ，用映射  实现  与  的对应关系，而用映射  实现剩下部分的对应关系，即  与  的对应，如下图所示：

上图所示的集合  与  是不相交的，是理想的情况。但事实上，集合  与  是可能相交的，这种情况就无法构造  与  的一一对应。我们只能考虑那些满足：

的集合  。这种子集  存在吗？当然存在！如下图的  ：

你细品！然而，别高兴太早，这时的  并不保证能够填满集合  ，即  不一定成立，不能保证一一映射：

解释：  

如果继续扩大  ，又会导致  变小，无法保证填满集合  。究竟能不能找到一个足够大的子集  ，使得： 

条件1:   

条件2:   

同时满足呢？

2. 如何满足条件1

由集合作为元素所组成的集合，称之为集合系（或集族）。把所有满足条件1的子集给揪出来，组成集合系  ： 

在这里我们不用管怎么找到这些满足条件1的子集，不用管这些子集具体是哪些集合，不用管它们有多少个，只须要知道它们是客观存在的（如前面所提到的  ）。于是可以构造这样一个特殊的集合： 

上面这个式子表示，把集合系  里面的所有集合拿出来做并集。这样表达是可以的，因为并集运算不关心参与运算的集合究竟是有限个还是无穷个。

怎样？这样扩大  ，足够大吧？ 同样，我们不须要知道  在哪里，不须要知道  是什么，只须要知道它是存在的，而且它很大 。

此时有下面这个结论：

结论1 

，即   满足条件1，且是  中最大的集合。

证明：

对于任意的  ，有  ，且  ，则有：

由于  ，结合式(1)可得 

因此，  。且由  的构造可知，   是 中最大的集合，证毕。

上面的证明写得够详细吧。

3. 如何满足条件2

OK，集合  满足条件1（而且还是集合系  里面最大的集合）。接下来证明，集合  也满足条件2。

结论： 

  ，即满足条件2。

证明：‍

用反证法，目标是构造一个比  还大且满足条件1的集合，从而造成矛盾。反设集合  不满足条件2，则存在  ，使得： 

那么令  ，有： 

由式(2)和式(3)可知： 

由于  满足条件1，即：

结合式(4)可知：

此时由式(5)和式(6)可得： 

与已知条件 “ 集合 是集合系  里面最大的” 矛盾，故反设条件不成立，有： 

  

即  满足条件2。证毕。

4. 构造一一映射

至此我们可以借助集合  ，通过  和  这两个映射构造从  到  的一一映射：

与  的情况类似，我们不须要知道  在哪里，不须要知道  具体是怎样的，只须要知道  确实是从  到  的一一映射。

综上所述，集合  与  是对等的。以上就是伯恩斯坦定理的详细证明。

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文章到这，已经完成伯恩斯坦定理的证明。证明过程尽量避免出现 “同理可证、显然易得、证明从略” 的情况，稍显啰嗦。

既然已经验证过基数的理论基础，我们将继续探讨问题：怎样比较自然数集  、实数集  以及  的基数大小？系列的下一篇文章，会详细分析与自然数集  相关的可列集。在这我们先给出一个结论：可列集是最简单的无穷集。