专门讲讲这个级数和映射

本文所讲述的是一些比较零散的知识点，读者很可能兴趣不大。一些比较重要的定理须要用到这些知识点，但将其放到系列文章里讲述，又觉得会过于偏离系列文章的主题。因此只能将这种 “细枝末节” 的知识点单独拎出来，作为一篇 “独立” 的文章。

所需知识：数列的极限

这篇文章通过讲述等比数列  及级数  的若干性质，分析映射  在什么条件下才会是单射。后续文章在讲述其它相关知识时可以方便地引用。

1. 基本性质

关于等比数列  ，最基本的性质就是：

这个证明就不多说了。记等比数列的部分和  为：

因  ，可知  是一个单调上升的数列。记级数为：

则有结论如下：

结论1 

对任意  均成立。 

证明

我们用  语言完完整整地把证明过程写出来。先整理一下部分和的表达形式，已知：

两边同乘以  可得：

式(1)减去式(2)后可得：

接着求部分和数列  的极限，对于任何  ：

即存在  ，当  时总有：

因此有：

证毕。

2. 稍作变形的级数

假设有这样一个数列  ，其中  或者  。在后面的文章中会遇到这样的问题：对于任意实数  ，级数  的极限是否存在？这里须要借助一个很重要的定理：

单调有界原理

单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。

—— 邓东皋、尹小玲的《数学分析简明教程》

我们可以用实数基本定理（戴德金实数连续性定理）证明得到上述定理，而实数基本定理又与实数的构造原理相关，因篇幅有限，这里不适合展开描述。相信大佬给出的结论就行了！

在大佬的加持下，我们直接给出结论：

结论2 

对于任意实数  ，任意数列  ，其中  或  ，则级数  的极限是存在的，且有上界  。 

证明

对于级数  ，由于  或  ，且  ，我们有：

因此，部分和数列  单调上升。而由于  ，根据结论1可得：

即部分和数列  有上界  ，由单调有界原理可知  存在。即级数  的极限是存在的。证毕。

因级数的极限  存在，我们可以构造一个从数列集合到实数集的映射：

3. 映射  是单射吗?

其实  不一定是单射，例如  时，有：

这时我们有：

即  ，因此  不是单射。

那  在什么情况下才会是单射呢？对于任意两个不相同的数列  和  ，肯定存在一个最小的自然数  ，使得：

即当  时都有  。不妨设  且  ，因此：

如果满足条件：

那  就不可能与  相等，因为式(3)中的  永远无法祢补式(4)中的  部分，从而保证  是单射。我们进一步分析上面的不等式：

至此有下面的结论：

结论3

当  时，  必是单射。