实数集的区间

前置文章：

所需知识：实数集，广义实数集

为什么要专门讲实数集的区间呢？当然是因为以后的知识要用到，后面在讲相关的知识时至少有个出处可以参考。嫌无聊可以不看，等后面有需要时再回来翻翻也是可以的。

废话少说，对于这个大家都很熟悉的概念，咱们直接上定义：

定义1

对实数集  中的任意两个元素  和  ，令：

  

它们分别被称为实数集  中的开区间、左开右闭区间、左闭右开区间和闭区间。

—— 程士宏的《测度论与概率论基础》

需要注意的是，程老师给出的上述定义并没有强调元素  必须小于  ，与我们潜意识中的定义不一致。当  时，按照上述定义有：

这正是程老师的目的：空集也是区间，是一种特殊的区间。例如，当提及 “由所有实数集  中的左开右闭区间组成的集合系  ” 时，我们必须知道：

这是一个非常重要的细节。

下面是实数集的其它常见区间。

定义2

对实数集  中的任意元素  ，令：

  

文章《广义实数集的一种理解》已经定义了广义实数集元素之间的大小关系，定义1和定义2中的区间类型  也适用于广义实数集。而当

  或  

时，部分区间类型是实数集  上所没有的，如区间类型  、  、  在广义实数集  上有个特例为：

区间类型  、  在广义实数集  上有特例为：

  和  

区间类型  、  在广义实数集  上有特例为：

  和  

区间类型  在广义实数集  上有特例为：

  、  以及  

综上所述，对于广义实数集  上的区间，除去：

  、  、  以及  

这几个集合以外，将其它区别于实数集区间的特例区间整理如下：

定义2

对实数集  中的任意元素  ，令：