套路！由半环生成的环

本文为系列文章 “集合系的生成” 的第二篇。该系列文章介绍测度论中常用的集合系构造方法，以便后续知识使用。

系列文章：

前置文章：

所需知识：半环、环、集合系的生成

文章《集合系的常见配方》曾经介绍了一种非常奇葩的集合系：半环。它的奇葩在于：不要求对真子集差运算封闭，只要求真子集差的结果可以用集合的有限并集来表示。

既然这么奇葩，为什么还要用呢？因为它有一个重要的作用：任给一个半环  ，都有一个固定的套路将它扩张成为环  ，而且扩张得到的还是由它生成的最小的环，即：

许多重要的结论都是在环的基础上得到的。

1. 具体方法

我们直接给出 “由半环生成环” 的具体方法：

定理

如果集合系  是半环，记：

  

则有：  。

上述方法描述的是，从半环  中拿出  个集合  ，这些集合必须是两两不交的，然后一起做并集得到新的集合  ，将所有这类 “通过并集得到的集合  ” 放在一起就得到集合系  ，而它就是由  生成的环。

那怎么证明  呢？对于  中的任意集合  ，由于  ，且由于环  对有限并集运算是封闭的，可知：

因此，我们只须证明  。为此，如果能够证明  是一个环，由于  是包含  的最小的环，自然就有  。

2. 对差集运算封闭（上）

要证明集合系  是一个环，可以通过证明 “  对有限并集、差集运算都封闭” 来达到目的。在这里我们选择先证明集合系  对差集运算封闭。为什么呢？因为后续在证明对有限并集运算封闭时，可以借助差集运算的结论轻松完成证明。

对任意集合  ，根据  的定义，可将其分别表示为：

  ，   

其中  和  各自都是两两不交。

根据半环的定义，对每个  组合，都存在  个两两不交的集合：

使得：

这样，我们开始处理差集运算：

但是，式(2)并不能将  表达为有限多个两两不交集合的并集，不符合集合系  的定义。

这时可以参考文章《有限交集的有限并集》的方法进行等价变换。为方便对照着理解，我们将  的表达方式改为  ，则有：

通过式(3)我们已经将  表达为有限个集合的并集。且由于：

可知每项集合均为：

那式(3)中究竟有多少个这样的集合呢？答案是（为方便对照理解，我就不用连乘符号了）：

可是，到这个时候，我们还不能说式(3)符合集合系  的定义：我们还不知道这些集合是否两两不相交。

3. 对差集运算封闭（下）

接下来我们来详细讲一下，式(3)中各项为什么是两两不相交的集合。先回去看式(1)：

由上述定义可知：

结论1

1. 当  时，不管  为何值，都有  ；

2. 当  且  相同时，有  ；

3. 对于任意  ，都有  ；‍

解释

1. 当  时，不管  为何值，都有：

而已知：  ，则必有  。

2. 当  且  相同时，由半环的定义可知  。

3. 对于任意  ，由  可知  。

• 对于式(3)中  相同时的任意两项：

其下标  和   至少有一项是不同的。不妨设  ，易知  和  ，由结论1的第2点可得：

因此有  。

• 对于式(3)中  不同时的任意两项：

可知  和  ，由结论1的第1点可知：

因此也有  。

综上所述，可知式(3)中的任意两项均不相交。至此，我们终于能够把差集的结果  表示为  中有限多个两两不相交集合的并集，终于能够说集合系  对差集运算封闭，即：  。

4. 对并集运算封闭

接下来我们开始处理并集运算：

类似前面的思路，我们需要证明式(4)中的每一项是两两不相交的。我们已经知道，式(4)左边的  已经是两两不交，也知道右边的每一项也是两两不交。接下来就要看看，任意的  是否与  相交。

由前面结论1的第3点可知，对于任意  ，都有  ，可知： 

因此，式(4)中的任意两项均不相交。

至此，我们也把并集运算的结果  表示为  中有限多个两两不交集合的并集，说明集合系  对并集运算也封闭，即：  。

5. 小结

前面已经说明集合系  同时对并集、差集运算封闭，因此集合系  是一个包含  的环，从而有  。再加上已证明的  ，可知  。

文章到这里，虽然已完成由半环生成环的任务，但还有更重要的内容想要说，可限于篇幅，再说下去可能得要吐了。还是留到以后再说吧。