| 本文为系列文章 “集函数的性质” 的第二篇。该系列文章尝试将集函数的几种性质关联起来，看是否能留下更深刻的印象，从而能更好地理解后续的测度、符号测度等特殊集函数之间的不同。 系列文章： 前置文章： 《神奇的希尔伯特旅馆》 |
一直在思考怎么把集函数的性质给捋顺，没想到围绕着 “空集的函数值” 来整理竟然会有比较好的效果。我们接触的重要集合系，如半环、域、 域等，大多数含有空集 。该集合系上定义的非平凡集函数在满足不同的性质时，在空集 上的函数值会是怎样的呢？个人认为，集函数中第二重要的性质当属 “有限可加性”，我们从有限可加性开始，看看空集的函数值有什么特别吧。在上一篇系列文章《随便说说集函数》已经提到有限可加性，这里再次给出它的定义：
| 已知 是集合系 上的集函数，如果对任意有限个两两不交的集合 ，只要 ，就一定有 |
直接给出结论：
| 已知集合系 且空集 ，而 是 上的非平凡集函数，如果 满足有限可加性，则有： 。 |
证明 对于任意 个空集，由于它们两两不交，由有限可加性可得：则 或 或 。对于任意集合 ，由有限可加性又可得： 由上式可知，如果 ，则有 ；如果 ，则有 ；这两种情况下，都会导致 成为平凡集函数。因此只能有： |
虽然系列文章《随便说说集函数》提到可以不考虑 ，上述证明过程依然讨论了 的情况。无所谓啦，更严谨也是可以的。讲到这里也许你会认为， 这个特性是由有限可加性带来的。其实不然，我们继续往下看。二、可减性对空集的影响
空集的函数值其实与集函数的可减性有关。先引入可减性的定义：
定义
已知 是集合系 上的集函数，如果对任何 ，当 且有 时，只要 ，就有
|
上述定义可以看到，对使用 “可减性” 场景的要求是非常多的：既要求集合间的包含关系，也要求差集仍然在集合系中，最后还要求子集的函数值必须为有限值。对子集函数值的要求，有助于避免 的情况。
我们想说的是，如果集合系包含空集 ，且其上定义的非平凡集函数满足可减性，则会有同样的结论：结论2 已知集合系 且空集 ，而 是 上的非平凡集函数，如果 满足可减性，则有： 。 |
| 因 是非平凡集函数，即存在集合 使得 ；同时又有 且 ，则由可减性可得： 证毕。 |
三、有限可加性和可减性
这么看来，满足 “有限可加性” 或满足 “可减性” 的集函数，其空集的函数值都为0。这两个性质之间是不是有什么联系呢？
结论3 已知 是集合系 上的集函数，满足有限可加性，则 也满足可减性。 |
证明 |
有个细节需要注意：上述证明过程中，在对集函数进行减法运算之前，再次确认子集的函数值为有限值。综上所述，我们可以认为 “空集函数值为0”，即 ，是由可减性带来的性质，且有以下关系：
前面说到，“有限可加性” 是集函数第二重要的性质，那么最重要的性质，当属这里要说的 “可列可加性”。测度论中的重要概念，如测度、符号测度等，都要求具备可列可加性。“有限可加性” 参与运算的集合数量是有限的，把集合数量往下一个数量级提升：可列个集合（参考文章《神奇的希尔伯特旅馆》），就得到下面关于可列可加性的定义：
定义 已知 是集合系 上的集函数，如果对任意可列个两两不交的集合 ，只要 ，就一定有 |
关于可列可加性对空集的影响，可以通过类似结论1的证明得到：| 已知集合系 且空集 ，而 是 上的非平凡集函数，如果 满足可列可加性，则有： 。 |
证明 对于可列个空集，由于它们两两不交，由可列可加性可得：则 或 或 。对于任意集合 ，再由可列可加性又可得： 由上式可知，如果 ，则有 ；如果 ，则有 ；这两种情况下，都会导致 成为平凡集函数。因此只能有： |
| 已知集合系 且空集 ，而 是 上的非平凡集函数，如果 满足可列可加性，则 同时满足有限可加性。 |
| 因 是非平凡集函数，且满足可列可加性，由结论4可知 。 对于任意有限个两两不交的集合 ，如果 ，由可列可加性可得： |
因此，可列可加性蕴含有限可加性，有限可加性是可列可加性的必要条件。
文章从开头到现在，还没有按照系列文章《随便说说集函数》的建议对集函数的值域进行限制，没有要求集函数是非负的。不要着急，先回顾一下这篇文章。文章提到，如果非平凡集函数 满足可列可加性，或有限可加性，或可减性，其在空集 上的函数值都会是0。我们知道，空集 是任何集合的子集，这时如果 还满足单调性，那所有集合的函数值不就都是非负的吗？由此看来，非负性和单调性是有一定联系的。我们将在下一篇文章聊聊它俩的关系。