两个实数之间必然存在有理数

前置文章：

  《集合上的等价关系》

所需知识：等价关系，数列极限，自然数  ，整数  ，有理数  

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与之前的一些文章类似，为了做到公众号内知识的完整性，特意整理了这一篇文章。后续大家就会看到相关的应用。

这篇文章的内容，正如题目说的那样直白：两个实数之间必然存在有理数（其实还有无理数，但在这不是重点）。如果这个结论对你来说就是一个常识，或者说你对 “如何构造实数” 没有兴趣（甚至认为是无病呻吟），那这篇文章确实也没必要看。

1. 用柯西数列表示实数

关于实数构造理论，有基于 “戴德金分割” 构造的，也有基于 “柯西数列” 来构造的。这篇文章使用的则是基于 “柯西数列” 的实数理论。从头讲述是不现实的，但至少我们得知道：

定义

对于有理数  中的任意数列  ，如果给定任意有理数  都存在正整数  ，使得只要  且  ，就有：

则称数列  为柯西数列。

需要注意的是，柯西数列中的每一项  以及  都是有理数。然后，将符合上述定义的所有柯西数列组成集合  ，并给  中任意两个柯列数列定义以下二元关系：

定义

已知柯西数列  和  ，如果给定任意有理数  都存在正整数  ，使得只要  ，就有：

则称  和  是相等的，记为  。

参考文章《集合上的等价关系》，容易验证上述二元关系  就是集合  上的等价关系，于是就有了  关于该等价关系  产生的等价类  以及商集  。这里的商集  则是我们经常使用的实数集  ；而其中的每一个等价类  ，就是一个实数。至于怎么比较大小、定义运算法则，只能后续通过系列文章来讲述了。

由于等价类  中的任一个元素  （柯西数列）都可以拿出来代表这个等价类，例如，有理数  可表示为数列：

而无理数  则可表示为数列：

于是我们得到这篇文章所需要的第一个知识点：

知识点1

任一个实数  都可等价地看作一个柯西数列  ，一个由有理数组成的数列。

2. 用柯西数列比较实数大小（上）

随便给两个不同的实数  ，这篇文章需要在实数  和  之间找一个不同的有理数。按照第一个知识点的说法，我们可以使用柯西数列  和  分别代表实数  和  。

既然  ，说明柯西数列  和  不满足前面所说的相等的二元关系，由该关系的定义可以得到对应的否命题：

事实1

存在有理数  ，对于任意的正整数  ，都存在另一个正整数  ，使得：

同时，基于事实1中的有理数  ，由柯西数列的定义可知：

事实2

给定  ，则分别存在正整数  和  ，使得只要  ，就有：

只要  ，就有：

与事实1、式(1)相结合，可知存在正整数  使得：

且根据式(2)、(3)，当  时总有：

我们需要根据式(4)、(5)、(6)来判断  在  时的取值范围。首先将式(5)、(6)变换一下：

而式(4)则存在两种情况：

  或者  

我们需要对这两种情况进行讨论。

情况1:   

此时将上述条件结合式(7)的  ，可得：

然后再结合式(8)的  ，可得：

也就是：

对于上述的情况1，如果记  ，可见  也是有理数，且当  时总有  成立，即有理数  总比有理数  大有理数  。这正是用来比较实数大小的标准：

知识点2

对于任意的两实数  和  及其对应的柯西数列  和  ，如果存在有理数  和正整数  ，使得当  时总有  成立，则定义实数  和  的大小关系为  或  。

3. 用柯西数列比较实数大小（下）

接着我们对式(4)的另一种情况进行讨论（其实也就交换一下  和  的位置）：

情况2:   

此时将上述条件结合式(8)的  ，可得：

然后再结合式(7)的  ，可得：

也就是：

对于上述的情况2，同样沿用  ，当  时总有  成立，根据实数比较大小的标准，可知  。而且，不管式(4)的哪种情况，都会得到：  。因此有：

知识点3

对于任意的两个实数  和  ，并记对应的柯西数列为  和  ，如果  ，则必然存在有理数  和正整数  ，当  时总有：

4. 两个实数之间的有理数

准备好知识点之后，再次回到文章的主题：随便给两个不同的实数  ，真的一定会有一个有理数在这两者之间？在实数  和  之间，不能全是无理数吗？

为简化讨论，不妨假设  ，则我们可以沿着前面式(4)的情况2继续讨论。此时，我们再取另一个数  ，明显  也是有理数，并且可用下面这个柯西数列  表示：

也就是数列的每一项  都是有理数  。而由式(8)可知，当  时总有：

也就是：

基于知识点2，可知  。同时由式(7)以及  ，可知当  时也总有：

也就是：

基于知识点2，可知  。综上所述有：

这样，我们就在实数  和  之间，找到了有理数  。总结如下：

定理

任意两个实数  和  ，如果满足  ，则必然存在有理数  满足：  。