和普朗克常数无关的量子效应
以下文章来源于我的量子 ，作者吴飙
普朗克在1900年发现光的能量是一份一份的，每一份等于hν。这里h就是著名的普朗克常数而ν是光的频率。自此，普朗克常数(或约化普朗克常数ħ = h /2π)开始出现在描述各种微观粒子性质的物理量中，比如自旋⻆动量等于ħ的整数或半整数倍，原子或分子的大小正比于ħ的平方。在各种量子效 应，比如量子隧穿和能级分裂，我们也都能看到普朗克常数扮演的重要⻆色。现在普朗克常数已经成为量子效应的代名词。而且由于普朗克常数很小,h=6.62607004 × 10-34 m2 kg / s，我们可以很容易理解为什么在日常生活中我们无法直接感受到量子效应。 例如，我们平常同样觉得水是连续的，感觉不到 单个水分子的存在，那是因为水分子直径不到3x10-10米。如果有魔法能让普朗克常数变大1000倍而其他东⻄都不变，水分子就会和沙粒差不多大小。
有趣的是，有两个著名的量子效应, 量子态叠加和量子纠缠, 和普朗克常数无关。
态叠加来源于这样一个基本事实: 量子力学的基本理论框架是线性的。这体现在两个方面：首先, 量子体系的态空间是一个线性空间, 希尔伯特空间: 如果ψ1和ψ2是两个不同的量子态, 那么ψ1 + ψ2也是一个量子态。其次, 薛定谔方程是一个线 性方程。我们先写下薛定谔方程的具体形式
其中H是哈密顿量。这个方程是线性的: 如果ψ1和ψ2分别是解, 那么叠加态ψ1 + ψ2也是方程的解。希尔伯特空间显然和普朗克常数无关; 薛定谔方程里虽然有普朗克常数, 但是它的线性性和普朗克常数无关: 无论普朗克常数ħ多大多小, 薛定谔方程都是线性的。
量子纠缠也和普朗克常数无关。量子纠缠涉及复合量子体系, 即由两个或两个以上量子体系组成的复合系统。为了简单, 我们考虑两个自旋1/2粒子, 它们的希尔 伯特空间分别是V1和V2。那么这两个自旋的希尔伯特空间是它们的直积V1 ⊗ V2。可以证明这个直积空间中的绝大多数态都是纠缠态, 比如
就是一个纠缠态。这个态表示, 如果自旋1处于向上的状态自旋2处于向下的状态; 如果自旋1处于向下的状态自旋2处于向上的状态。显然, 两个希尔伯特空间V1和V2和普朗克常数无关, 它们的直积V1 ⊗ V2也和普朗克常数无关。在上面的纠缠态中我们也完全看不到普朗克常数的影子。所以量子纠缠和普朗克常数无关。
我们肉眼看不到水分子，是因为普朗克常数很小，以至于水分子直径不到3x10-10米。既然态叠加原理和量子纠缠和普朗克常数无关，为什么我们在日常生活中从来没有感受到它们?既然电子可以同时出现在原子核的四周，为什么我们从来没有看到太阳同时从东方升起⻄方落下?一个微观粒子如果和其他粒子发生了纠缠，它的运动状态就不再是确定的，但是日常生活的每一个物体总是具有确定的运动状态，即动量和位置。
埃弗里特的多世界理论可以完美回答这个问题。薛定谔曾经巧妙地通过放大量子效应让猫处于活和死的叠加态。考虑一个篮球，我们可以按照类似的方式将 某个量子过程放大，神奇地让这个篮球同时处于球场的左边和右边。这个情形可以用下面这个波函数描述
这里| BL⟩和| BR⟩分别表示篮球的两种状态，在球场左边和在球场右边;而|ψc⟩表示球场上没有篮球的状态。篮球在左边时，球场左边会感受压力，从而变形，这时球场的状态会从 |ψc⟩ 变成 |ψcL⟩; 篮球在右边时，球场右边会感受压力，从而变形，这时球场的状态会从 |ψc⟩ 变成 |ψcR⟩ 。所以在很短的时间内，也就是在球场感受到篮球压力的时间内，上面的波函数会变成
这时篮球和球场发生了纠缠。于是我们得到一个关于宏观物体的纠缠态。
但为什么我们在日常生活中从来没有体验到这个纠缠态呢?按照多世界理论，这时世界一分为二，上面波函数的两个分量分别代表两种世界。一种世界里，篮球在球场左边，球场的左边相应发生了变形;另一种世界里，篮球在球场右边，球场的右边相应发生了变形。由于薛定谔方程是线性的，两种世界里的观察者互相感受不到对方的存在。对于第一种世界里的观察者，波函数是
| BL⟩ ⊗ | ψcL⟩ ，这个波函数里没有叠加也没有纠缠;对于第二种世界里的观察者，波函数是|BR⟩ ⊗ |ψcR⟩ ，这个波函数里同样没有叠加也没有纠缠。我们于是来到了一个非常意思的情形，整个宇宙的波函数| Ψ⟩处于叠加的量子纠缠 态，但是在它的每个分量代表的世界里，叠加和纠缠都消失了。
上面讨论的是一个非常特殊的宇宙，它只有一个篮球和一个球场。我们看到整个宇宙的波函数确实可以处于量子叠加和纠缠态，但是在它各个分量描述的世界里，叠加和纠缠都消失了。按照同样的方式，我们就可以理解为什么日常生活中我们体验不到量子叠加和纠缠尽管它们和普朗克常数无关。
作者简介:
吴飙，北京大学量子材料科学中心教授。从事凝聚态物理的理论研究，主要方向有量子算法、量子动力学、超冷原子气等。他在最近出版的《简明量子力学》中对这个问题有更详细的讨论。
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