【研究进展】佛山科技学院黎永耀课题组：二维晶格量子液滴 | FOP

奔流向前的量子液滴

 二维晶格体系下的新型基态和涡旋态孤子Boris A. Malomed^1,2

¹Department of Physical Electronics, School of Electrical Engineering, Faculty of Engineering, and Center for Light–Matter Interaction, Tel Aviv University, P. O. B. 39040, Tel Aviv, Israel

²Instituto de Alta Investigación, Universidad de Tarapacá, Casilla 7D, Arica, ChileE-mail: [e-mail]过去25年间，超冷气体催生了数个新的量子物态：其中最著名的是玻色-爱因斯坦凝聚（BECs），它于1995年首先登场，验证了爱因斯坦在1924年的理论预言[1]。随后，它的出现又催生出简并费米气 [2]、硬核玻色子Tonks–Girardeau气体 [3,4] 和自旋轨道耦合BEC [5] 的实验实现。最近，又有一“滴”新的浪花汇聚到这股浪潮之中，这“滴”新的浪花就是量子液滴（quantum droplets，QDs）的理论预言[6,7] 及其实验实现 [8-13]。由二分量（双组分）BEC中的相干物质波构成的量子液滴，是对BEC的一种最新拓展。它的实现让我们能一窥平均场近似之外的风景。这种超越平均场的效应是由平均场附近的量子涨落效应引起的（被称为“李-黄-杨”效应），量子气体在这种效应下的静态和动态性质会发生显著的变化，其总的效果可以等效为在描述宏观物质波函数的Gross–Pitaevskii方程中，新增了一项4阶非线性项“”，并且与常见的3阶平均场非线性之间相互竞争[6] ，这个竞争关系可由下述无量纲的方程所描述：        (1)此处的正数g为平均场相互作用系数。量子液滴的特点在于，这个超越平均场的4阶自排斥作用能与双组分BEC中平均场近似下的3阶吸引作用[6-11](或是具有磁矩的原子气中的偶极-偶极相互作用 [12,13] 相抗衡)，使得凝聚体在3维和准2维的自由空间中不会因内部吸引作用而塌陷[14]，形成稳定的自约束态。如果没有这种4阶排斥，凝聚体在平均场近似下的3维和准2维的塌陷将不可避免。 如果BEC只被外场在某一方向强烈约束，则方程（1）可以替换成一个等价的2维方程 [7] （亦可见文献[15,16]）：       (2)这个方程同样支持量子液滴。确定方程（2）中包含的守恒量（动力学不变量）是十分重要的，它们包括总粒子数，哈密顿（能量）：       (3)线性的动量和角动量：      (4) 注意，当液滴密度<1时，方程（2）中的非线性项是自吸引的，能够驱动2维自局域的形成并使其密度逐渐增大，但是当密度增大到>1时，ln项正负逆转，这一项的作用由自吸引变为自排斥，又会反过来阻止液滴密度的继续增大。也就是说方程（2）的这个包含对数因子结构的非线性项本身就可以给2维量子液滴的形成提供了条件。 另外需要指出，通过横向两个方向都施加强约束的外势，可以让系统有效维度从3维直接降成1维，此时Gross–Pitaevskii 中的平均场3阶非线性项保持不变，同时会出现一个平均场之外的2阶项，这一项正比于。由于此项符号为负，因此它与3维和2维情况下的自排斥项刚好相反，表现为自吸引作用 [7]，因此可能有助于准1维量子液滴的形成 [17,18]。图1  涡旋量子液滴的密度分布图. 该涡旋量子液滴是方程(2)的解，可以表示为, 其中μ为化学势，(a1-a4) 分别为拓扑荷S=1,2,3,4的涡旋量子液滴. 本图来源于参考文献[23].理论和实验表明3维和准2维稳定量子液滴存在的可能性[6-13]，为BEC的多维自局域(或称“孤子”)这一广泛的研究领域提供了新的重要支撑，因为在量子液滴出现之前只有很少几个实验能得到稳定的多维孤子[19,20]。不仅如此，最近有研究预言，稳定的3维[21]和准2维[22-27]量子液滴中还可以形成涡旋态，众所周知，稳定3维和2维涡旋孤子的预测和实现是一个相当有挑战性的问题[28]。与此问题相关，图1展示了涡旋孤子的局域密度的示意图。在该图中，当拓扑荷(绕数)S为1,2和3时，涡旋量子液滴是稳定的，而S=4时是不稳定的。注意孤子的总角动量M由S和总粒子数N [见(4)式]决定，即：M=SN. 近期发表于Frontiers of Physics的综述文章[29]简要回顾了3维和准2维下量子液滴实验和理论上的相关进展。综述主要讨论的是具有二体散射和偶极-偶极相互作用的凝聚体，理论部分则关注了包含涡旋的量子液滴的理论预言，这些理论的预言还未能被实验所实现。 还有一个手段能帮助众多2维和3维模型形成稳定的涡旋和非涡旋孤子。这个手段就是施加空间周期外势（或晶格势）[30,31]。实验中，这样的外势可以借由光晶格实现，即通过相对的两束激光在BEC中形成共振光场，进而给囚禁于其中的原子是施加一个空间上周期变化的力[1,32]。最近发表于Frontiers of Physics的文章“二维晶格量子液滴[33]”在此方向上迈出重要一步。该工作通过给方程（2）加上一个在x和y方向上都呈周期变化的外势，并对形成的2维量子液滴进行了理论分析。详细的数值模拟发现该模型同时支持拓扑荷S=0及S=1的晶格量子液滴。这些在晶格中形成的自局域态，由激发的晶格格点构成，也就是说这些格点中囚禁的原子数密度不为0。 需要指出，1维下包括上述非平均场项和1维晶格势（也同样可以通过光晶格实现）的情况最近已经分别在文献[34]和[35]中得到了讨论。这些模型预言了稳定的偶极模，即具有不同符号的基态量子液滴形成的束缚态[34]，以及稳定的多峰模，后者可被视为由大量基态量子液滴构成的束缚态[35]。多峰模分化自具有周期势的线性系统中的非局域布洛赫态[34]，不同峰数的多峰模可以具有相同的化学势，而且都保持稳定，实现了所谓“多值稳定性”。另一方面，这些量子液滴的偶极模也可以被视作是2维涡旋量子液滴的1维对应[34]。同时，文献[34]还研究了这些量子液滴的运动性，看它们在受到踢动之后能否在1维周期势中持续稳定运动。最近，文献[36]还进一步对上述具有晶格势的1维模型进行了全量子分析。 与图1中展示的2维自由空间的轴对称解不同，晶格势的存在破坏了轴对称，从而导致系统的空间平移对称性和转动对称性都被破坏，这些对称性的破坏会导致系统动量和角动量都不能守恒。此时，晶格中涡旋量子液滴的拓扑荷可以用方程（2）静态复数解的相位变化，定义为相位绕涡旋中心改变的周数除以2π [30,31]。 文献[33]中S=0和S=1的两种晶格量子液滴分别都存在两种类型，这两种类分别称之为Onsite(OC)和Intersite-centered(IC)模式。Onsite模式的涡旋中心位于格点所在之处，而Intersite模式的涡旋中心则位于两个格点之间。上述的量子液滴的稳定性都经受住了方程（2）的微扰实时演化的检验(在检验中，稳定量子液滴的形状将保持不变，不稳定量子液滴形状则会遭到破坏或者变形)。通过以上的检验手段，这些不同种类的晶格量子液滴均在在参数空间中界定出各自的稳定区域。不仅如此，对（3）式定义的哈密顿的计算结果表明，非涡旋的量子液滴都是非简并的，但S=1的态是简并的，也就是说，两个格点激发数相同的Onsite和Offsite涡旋模式可能具有相同的能量。 除此之外，晶格势还给构造更为一般的局域模式提供了可能，这些模式可能是多个基态孤子的束缚态。这些更为复杂的局域态也许能保持稳定的非对称外形，与支撑它们的对称晶格形成鲜明对比。 这个工作（[33]）还可以进一步拓展，例如研究晶格量子液滴的运动性，因为用于囚禁原子的晶格势一般会通过形成Peierls–Nabarro势 [37,38] 抑制局域态的运动，因此相关讨论可能会得到一些有意义的结果。另一个颇具挑战性的拓展方向，是考虑完全的3维模型，通过给方程（1）加上一个在3维空间周期变化的外势，构造对应的方程并研究相应的量子液滴解。此外，在周期空间势之外，还可以考虑具有轴对称势的2维模型，这样的系统中角动量是守恒的，因此可能支持具有轴对称的涡旋孤子，还有可能在其中找到偏离中心、并沿着圆形或椭圆形轨道运行的压缩态量子液滴[39]。

References

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B. A. Malomed, The family of quantum droplets keeps expanding, Front. Phys. 16(2), 22504 (2021) 

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