Doctor Curious 第五期：反德西特时空中的共形对称性 | 中科院理论物理所

20世纪末，理论物理方向的一个重要进展是AdS/CFT对偶，时至今日在高能物理，凝聚态等领域仍然有着广泛而重要的应用。这个对偶关系将反德西特(AdS)引力和共形场论联系起来，(D+1)维AdS引力理论(bulk)与一个边界上D维共形场论(boundary)在某种程度上是等价的。一个理论中的物理量可以在其对偶理论中有相应描述，如关联函数、配分函数、纠缠熵等。这样一个引力理论就可以用低一维的共形场论来全息的描述，比如可以从共形场论中得到黑洞熵的微观态描述。同样也可以从引力侧来理解共形场论中的物理，比如用AdS时空中黑洞的Hawking-Page相变来描述夸克的囚禁和反囚禁相变。在对偶字典中，有一个很重要的关系就是对称性的对偶，也就是说AdS中也是有共形对称性的。共形对称性在共形场论中扮演了至关重要的角色，它可以用来确定共形场论中的两点、三点关联函数。既然AdS引力与共形场论有某种意义上的等价性，所以在AdS时空中也应该蕴含了共形对称性。在AdS/CFT猜想提出以，从AdS时空中重构出共形对称性成为一个重要的研究课题，它能够帮助我们理解AdS/CFT对偶的本质。本文将简单介绍共形对称性以及如何从AdS引力中重构出共形对称性。

1、共形对称性

共形场论是指在共形变换下不变的经典或量子场论。共形变换是在某种坐标变换下时空的度量变化为与原度量相差一个共形因子，它可以由共形Killing方程描述：

共形变换实际上是描述等度量变换的推广，共形Killing方程可以退化为普通Killing方程，如果我们取ω=0。对于D≥3的平直时空，可以解出所有共形变换并且可以生成一个群，称为共形群，它的无穷小变换对应的生成元可以生成共形群的李代数。他们分别是：平移变换生成元为D个动量算符. 伸缩变换生成元为一个伸缩算符. 旋转变换的生成元为D(D-1)/2个角动量算符. 最后，特殊共形变换的D个生成元为. 它们之间的对易关系为

如果我们重新定义如下对称生成元:

那么共形群的生成元对易关系可以统一表示为

此对易关系与SO(D+1,1)李代数相同，并且生成元个数为(D+1)(D+2)/2, 也与SO(D+1,1)李代数生成元个数相同。所以对于D≥3维的共形对称群实际上就是SO(D+1,1)群。

对于二维共形场的情况要复杂很多，因为此时共形Killing方程的解为全纯或反全纯函数。通过对全纯和反全纯函数做模式（洛朗）展开可以得到二维共形对称代数的无穷多个生成元, 它们之间的对易关系为

此对易关系构成了Witt代数。二维共形场包含了无穷多的对称性，并不是简单的SO(3,1)李代数。但是SO(3,1)李代数是由Witt代数中生成的一个子代数。二维共形场论中的对称性要丰富得多，它不仅有全局共形对称性还有更多的局域对称性。所以在试图从AdS3中重构出共形对称性时要想得到所有的局域对称性并不是一个简单的工作。对Witt代数作中心扩充便可以得到Virasoro代数

Virasoro代数也可以通过共形场论的量子特性得到。考虑一个共形场论的能量动量, 根据共形对称的Ward恒等式可以得到算符乘积展开

如果将能量动量张量进行模式展开

根据的算子乘积，可以计算出量子生成元之间的对易关系正好是Virasoro代数。因此中心扩充可以看作是经典理论的量子效应。根据二维共形对称性，可以构造出无穷多互相对易的守恒荷，这项工作在1984年由Belavin,Polyakov,Zamolodchikov等人完成。它反映了二维共形场论的可积性，其中共形对称性起了很重要的作用。

2、从AdS中重构共形对称性

所谓对称性就是在某种变换下存在着某种不变量，如相对论场论中的洛伦兹对称性。而Einstein的引力理论是对微分同胚变换下不变的，这个对称群是远大于共形对称群的，因此在AdS中构造共形对称性其实是寻找微分同胚的一个子群。从经典角度来看，如果能从AdS引力中的某种特点构造出Killing方程，也就得到了共形对称性。从量子角度来看，对称性是反应在量子态的希尔伯特空间中的对称性。首先，经典哈密顿系统的约束G0要求希尔伯特空间中真正的物理态满足，这样就对希尔伯特空间中真实的物理态给出了一个限制。而对称生成元Q作用到一个物理态时也要求变为另一个物理态，也即也是一个物理态。为满足上述条件必须要求约束和对称生成元满足

这里的Q实际上是系统的守恒荷,c代表系统的可能存在的中心荷。我们将简单介绍如何根据上述两种方式从AdS中重构共形对称性。

2.1共形Killing方程

1998年，著名理论物理学家Witten指出在(D+1)维AdS时空中做等度量变换会在无穷远边界处诱导出一个D维的共形变换。这个结论很简洁，但是这却是一个非平庸的结果，因为在AdS度量在无穷远边界处的诱导度规是有奇异性的，并没有良好定义。Witten的做法是引入一个正规化因子用于抵消边界度规的奇性。设D维AdS时空的度规是gμν，正规化以后的度规是，经正规化以后的度规可以无奇性的扩充到AdS时空的无穷远边界上。但是由于正规化因子的选择并不唯一，因此给定AdS度规以后，边界度规只能确定到相差一个Weyl因子。在AdS时空中做了等度量变换时要求, 正规化以后的度规变化为

此外，在AdS中的等度量变换只会将AdS中的内点映射到内点，边界点映射到边界点，因为(D+1)维AdS时空等同于陪集空间SO(D,2)/SO(D,1)。所以如果我们将正规化之后的度规的变化限制到边界上，它正好是给出了边界上的共形Killing方程，而共形因子来自于正规化因子ρ(x)。这样就从经典对称性角度建立了AdS中的共形对称性。

2.2 守恒荷代数

第二种方式用守恒荷来构造共形对称性的方法，实际上在AdS/CFT对偶提出之前就已经发现。早在1986年, Brown和Henneaux在研究三维AdS引力时，就意识到三维AdS时空的量子引力与二维的共形场论有着密切的关系。他们发现AdS3的渐近对称性正好给出了二维共形场对称性的Virasoro代数，并且给出了著名的Brown-Henneaux关系, 其中c为二共形场的中心荷，G为三维引力常数,为德西特半径。AdS3中的渐近对称性可以通过下面方式实现。首先，AdS3的解可以写成Fefferman-Graham形式

所谓渐近对称性是指对等度量变换的条件进行放宽，仅要求在时空中做变换时保持度规的领头阶不变，也就是可以允许变化但是保持不变。Brown-Henneaux在处理该问题时选取为闵氏度规，后人称Brown-Henneaux边界条件，这个边界条件的变换矢量为

其中分别为仅依赖于的任意函数。在三维引力中，经过ADM分解(2+1分解)可以看出这是一个约束的哈密顿系统，约束分别为哈密顿约束和动量约束。这些约束进而会对希尔伯特空间中的物理态进行约束。而真正的对称生成元可以定义为

其中是一个表面项。的选取依赖于边界条件，并且使的变分具有良好定义，对于不同边界条件有不同的表面项。另外，H被证明是系统的表面积分(surface integral)，它正好给出系统的能量。据此可以计算出满足的泊松代数

如果再对生成元作模式展开，并将泊松括号转换为对易子，上述泊松代数可以得到Virasoro代数。Virasoro代数中的中心荷由Brown-Henneaux关系给出。也就是说在AdS3中的保持Brown-Henneaux渐近边界条件的变换构成了共形对称性。

2.3 Chern-Simons形式

三维的AdS引力有一个很好的规范场形式——Chern-Simons形式，它是在1988年由Witten提出。在这种规范场形式下，坐标变换对应于规范变换。相比度规形式的引力，利用引力的规范场形式去研究对称性是十分方便的。我们仍然考虑Brown-Henneaux边界条件，在该边界条件下AdS3的通解称为几何，它的度规形式可以参数化为一个全纯函数和一个反全纯函数。在引力的规范场形式下可以写成李代数SL(2,R)取值的规范场。其径向自由度可以通过一个规范变换来规范掉，这样可以将规范场完全限制到边界上并且有如下形式

此时AdS中的保持Brown-Henneaux边界条件的渐近对称性对应于保持上述规范场形式不变的规范对称性，也就是变换允许改变和具体函数，但是保持规范场的形式不变。根据Chern-Simons形式中规范变换定义

具体可以得到两个参数的变化

这两个参数的变化正好与无穷小共形变换下共形场的能量动量张量的变化一致。根据此规范对称性可以构造出规范对称性的守恒荷

他们满足如下泊松括号

其中最后一项为中心荷项。由于和为全纯函数和一个反全纯函数，可以对其进行模式展开。在量子理论中，泊松括号可以替换为对易关系，从上述关系可以得到各模式之间的对易关系满足Virasoro代数。对反全纯函数部分有同样的结论，并且全纯部分与反全纯部分互相对易。因此我们从三维AdS引力的Chern-Simons形式中，根据规范变换也是可以得到的共形对称性。这种对应关系的构造给对AdS/CFT对偶提供了有力证据。

3、形变的共形场及全息特性

全息性原理不仅给出了共形极限下两个理论的等价性，还给出了截断之后相应的理论之间的对应。在引力侧做红外截断对应于在边界场论处作紫外截断，形变可以很好的实现这一对偶。在2004年Zamolodchikov提出了一类可积形变的二维共形场形变，但是当时并没有引起太大的关注。直到2016年, Verlinde等人发现了形变的二维共形场对偶于截断的AdS3，并给出了两个验证：BTZ黑洞在处径向截断后的准局域能量与形变的能谱一致；AdS3引力中的哈密顿约束正好给出了形变的共形场的能量动量张量的迹的关系；以及关系。根据这个对偶关系的提议，很多其它的对偶关系也被验证了，比如关联函数的对偶，配分函数，纠缠熵等。虽然形变的共形场破坏了共形对称性但是仍然是一个可积系统，存在无穷多互相对易的守恒荷，但是到目前为止并没有得到一个变形的共形代数。根据Verlinde的提议，它可以对偶于截断的AdS3，因此从引力侧来寻找变形的共形对称性未尝不是一个好的方法。但是对于有限处截断的AdS3，其边界处是一个Dirichlet边界条件，并没有渐近对称性。我们要想从引力侧构造出无穷多对称生成元，有限处的Dirichlet边界显然是不够的。研究表明有限处的Dirichlet边界条件等价于无穷远处的混合的渐近边界条件。这个混合边界条件或许可以为形变的共形场的全息特性的研究提供一条有效的途径。值得注意的是三维AdS引力中的对称性是远比共形对称性丰富的，三维引力在所有微分同胚变换下都是不变的。共形对称性群只是对应于一个特殊边界条件下AdS3中微分同胚变换的子群，如果选择不同边界条件将会得到更丰富的对称性。

参考文献

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Science

[2] E. Witten, Anti-de Sitter space and holography, Adv. Theor. Math.

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Three-Dimensional Gravity, Commun. Math. Phys. 104 (1986) 207.

[4] M. Ba~nados, Three-dimensional quantum geometry and black holes,

AIP Conf. Proc. 484 (1999) 147 [hep-th/9901148].

[5] F. Smirnov and A. Zamolodchikov, On space of integrable quantum

field theories, Nucl. Phys. B 915 (2017) 363 [1608.05499].

[6] L. McGough, M. Mezei and H. Verlinde, Moving the CFT into the bulk

with TTbar, JHEP 04 (2018) 010 [1611.03470].

作者简介

何淼，中科院理论物理所博士研究生，研究方向为AdS/CFT对偶

编辑：黄琦

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