【期刊】材料力学中小变形假设辨析 | 力学与实践
本文展示了小变形假设在材料力学教学内容中的作用，辨析了小变形假设成立的原则。
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0前 言
作为理工科机械大类培养体系中的专业基础课，材料力学课程首次引入了“变形” 的概念，与之相应地，在研究对象与分析方法方面务求简单：分别对应于几何上的杆件，材料性质方面的连续、均匀、各向同性假设，以及基于观察与假设的分析模式。尽管材料力学课程在绪论中已经非常明确给出材料连续、均匀、各向同性的假设，但在后续章节甚少提及，反倒是材料的线弹性假设与分析状态的小变形假设被反复强调。相对而言，材料线弹性假设物理含义与作用范围易于被学生理解掌握，而作为分析状态的小变形假设由于其表观形式各异不易分辨，即便是材料力学专业教师，对于“多大的变形可以看作小变形” 这一问题的回答在思路与结论上也有较大差异。
本文首先列出其定义和出现在教科书中的内容，在此基础上分析与说明其内涵与规则，作为材料力学教学参考。
1变形的定义与常见教学内容
小变形假设与材料基本假设不同，后者在所有力学教材的开篇部分给出明确定义，前者在一些教材中有明确定义[1-4]，也有教材通篇都没有给出明确定义但在其分析过程中使用其性质。在给出小变形假设定义的教材中，其出现的位置也有差异：材料力学教材出现小变形假设往往在桁架节点位移分析章节[1-2]，而弹性力学教材或工程力学教材往往紧随材料的基本假设[3-4]。
尽管小变形假设在不同教材中给出的表述不完全相同，但核心思想一致，此处表述为：物体内各点的位移远小于物体的几何尺寸，因而应变与转角都远小于1。可以按原始几何位形进行力平衡分析；并可忽略应变与转角的二阶微量，从而使得几何方程线性化。
在材料力学教学内容中，以下几个部分均明确指出使用了小变形的性质：
(1) 桁架节点位移分析，典型模型如图1 所示，该方法也常被称为切线代圆弧；(2) 梁弯曲挠度分析中挠曲轴微分方程的简化，由式(1a) 到式(1b)；(3) 平面应变状态分析，典型变形协调如图2 所示，图中由小变形假设支撑的切线代圆弧体现在式(2a)、原始几何构型体现在式(2a)~式(2c)、角度代正切体现在式(2c)。除此之外，材料力学教学内容中还有一些章节涉及到小变形假设但并没有详细分析，例如：
(1) 应变的定义；(2) 材料应力应变曲线的真实应力；(3) 梁轴线弯曲变形时忽略轴向位移与挠度沿截面高度的变化；(4) 广义胡克定律中切应力对正应变的影响；(5) 变形体虚功原理中虚位移的定义。这些内容对于材料力学专业教师非常熟悉，这里不再赘述。
2小变形定义的辨析与实例
在材料力学教学内容中小变形假设经常出现，但相对于材料线弹性假设，其每次出现时“面貌” 并不完全一致，尽管多数情况二者同时出现。首先需要说明线弹性假设与小变形假设在定义上并无关联，前者是材料使用范围设定，后者是变形状态范围。其次，在材料力学绝大多数分析状况下，线弹性与小变形总是关联出现：以常见的金属材料为例，其屈服应力与弹性模量之比(屈服应变) 远小于1 (见表1)，而工程结构服役状态常见应变小于0.1% 量级，既然如此，在材料线弹性范围还需要强调小变形假设吗？另外一个常见问题是：材料力学的研究对象是一个方向尺寸远大于另外两个方向尺寸的杆件，小变形假设中提及的远小于结构原始尺寸是哪个方向的尺寸，特别是弯曲梁，挠度应该与横向的高度还是长度进行比较？为了说明这类问题，这里选取了几个经典讲授内容进行进一步讨论，便于加深对于小变形定义的理解。
3小 结
与材料的线弹性假设相比，小变形假设涉及的问题更加复杂，而且不可能在材料力学本科教学中涉及柯西应变张量与格林应变张量(或阿尔曼西应变张量) 的对比，但是往往学生们会问及多大的变形属于小变形，以及不同模式下与变形比较的原始尺度。本文期望通过几个材料力学教学实例说明小变形假设重在是否可以采用原始几何构型进行问题的分析而不仅仅是变形较小。本质上，小变形假设与材料线弹性假设“定义式” 的表征不同，更多体现在保证分析结果的准确性上。
参考文献
本文已刊载于《力学与实践》期刊
2021年 43 卷第 3 期
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