【文章连载】数学王子高斯的成长故事（第五章）
数学王子高斯的成长故事
作者 | 天空之城
我无意鼓动你成为科学家，我唯一的愿望是邀请你饶有兴致地进行一次小小的心灵之旅！
献给我的父母
也献给大宝、圆宝和欢宝
第二章 St. Katharines学校：幸运的机会（点击进入）
第五章
哥廷根大学：推进知识边界的勇气
欧几里德几何的五个公设
1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延伸成一条直线。
3、给定任意线段，可以让其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
哥廷根大学，我来了！
在Carolinum学院度过了四年时光后，公爵决定资助高斯上大学。这时的高斯已经对光辉的未来有所预感了。公爵召见他之前已经立志要去哥廷根大学，因为当时哥廷根大学在整个欧洲、整个世界都是最好的大学之一。公爵召见高斯时希望他到封地内的一所大学深造。我们前面曾提过资助高斯上Carolinum学院时就提过要求一定要在封地内的学院求学。
对于公爵的要求，高斯非常有智慧地给了一个回答，大体意思是公爵封地内那所大学的教授们和哥廷根大学的教授们不相上下，但是哥廷根大学有更多的图书，特别是一些经典名著，这是求学哥廷根大学的根本原因。这个问答既没有贬低公爵封地内那所大学的教授们，又明确了去哥廷根大学的意愿。高斯并不是一个书呆子，在人生的关键时刻非常知道如何实现自己的意愿。高斯去世后，人们发现他留下的财富大大超过他正常薪水可以积累的财富，因为高斯还热衷和擅长各种投资。
公爵给了高斯158Thalers。在Carolinum学院高斯每年的生活补助是10 Thalers。可见公爵这时对高斯相当优待。哥廷根大学不在公爵的管辖范围内，因此公爵更会担心高斯能否穿暖、吃饱，在发生意外时能否有足够的钱应付。同时，公爵也已经将高斯看成一个成年人了，高斯显然需要一定的金钱来装扮自己，以便让哥廷根大学里来自欧洲各地的那些人知道公爵封地上子民的富足。公爵已经没有能力可以在哥廷根大学为高斯找到特别的导师了，高斯需要自己去拼搏了。
1795年10月，高斯动身前往哥廷根大学，无数才华横溢的学生在这里求学、思考，众多杰出的教授在这里愉快地和学生交流。高斯有些不安，因为他要到真正的世界舞台上去表演了。高斯不敢确认自己能否作得到杰出，但是发自心底改变世界的野心不断在膨胀。高斯没有勇气过于张扬，他把野心秘密地藏了以来。高斯从1796年3月开始记载只属于自己的秘密数学日记，他将那些数学发现都秘密记载在这里。直到高斯死了40年后，人们才意外发现了这本秘密数学日记的存在。这对人们考证高斯的科学发现和思维过程起到了至关重要的作用。
高斯上哥廷根大学时开始记载的数学日记，该数学日记在高斯去世40年后人们才发现它的存在，从那以后这本数学日记就被珍藏了。
哥廷根城镇在当时比Braunschweig城镇还要小，但是哥廷根大学却是一个很了不起的大学。哥廷根大学是一个什么样的大学，让高斯都既向往，又心存畏惧呢？哥廷根大学是英格兰国王在1737年创建起来的。哥廷根大学基本上和现代大学没有太大的区别。在神学教育方面要求局限于历史介绍，而不去讨论那些有争议的问题。这就为建立追求真理的学术氛围奠定了基础。短短近60年的发展，哥廷根大学聚集了世界上很有影响力的一些教授。整个欧洲的学子都企图到这里来学习，贵族甚至王子们都涌向这里。这所大学也向那些贫穷出身但才华横溢的学子敞开大门。当然，也需要指出的是，就数学而言，当时最有名的几个数学大师都不在哥廷根大学。在那个时代，更出色的数学家往往会聚集在研究院专门从事数学研究。
哥廷根现在发展成为著名的大学城，人口却只有十多万。自从高斯成为哥廷根大学的数学教授后，哥廷根大学领导了数学上百年。在高斯之后，还有伟大的数学家黎曼、希尔伯特、克莱因和纽曼等。在物理方面20世纪之后尤为突出，在这里求学和工作过的伟人有普朗克、玻恩和奥本海默。哥廷根还有若干领导世界潮流的研究所。在二战期间，哥廷根几乎没有受到盟军的炮弹打击。据说一个默契是德国不轰炸牛津和剑桥，而盟军则不轰炸海德堡和哥廷根。海德堡也是一个大学城，人口也只有十多万。最著名的当然是海德堡大学。到现在为止，和海德堡大学有密切关系的诺贝尔奖获得者有55位。海德堡大学本身的诺贝尔奖获得者就有10位之多。
对于游学过哥廷根和海德堡的中国学者而言，无疑是一次朝圣的经历。这两所大学是经过几百年发展起来的，其精神不是金钱可以拷贝的。中国大学不必那么着急要成为世界顶尖的大学，建立好自由、严谨的学术氛围，科学文化的精神再经过百年发展是可以慢慢树立起来的。对于浮躁的杜绝和斗争大约是中国所有大学和研究机构的当务之急。
终身友谊的誓言
半年后，另外一位来自Braunschweig的天才少年Ide在公爵资助下来到了哥廷根大学。Ide的使命同样是学习数学。幸运的高斯在孤独的环境中又有了可以依靠、可以讨论问题的朋友。1797年，高斯的老朋友Eschenburg也来到哥廷根大学学习法律和经济学。
在这里高斯结识了很多有才华的同学，友谊最深的是来哥廷根专研数学的Bolyai。据说，在Seyffer教授邀请一些新同学参加家庭晚宴时高斯第一次认识了Bolyai。Bolyai来自匈牙利，是贵族出身。Bolyai在语言、诗歌和心算方面都表现了特殊的才能，被人们看作是神童。
匈牙利数学家Bolyai(1775－1856)。Bolyai取得了若干数学上的重要成就，几何上的Bolyai-Gerwien定理就是用他的名字命名的。他的儿子将成为非欧几里德几何的创始人之一。
高斯和Bolyai一见如故。高斯曾评价Bolyai为唯一能够理解自己想法的人。而Bolyai评价高斯是一个非常谦虚的人，并不那么让别人知道他的才智，甚至很多人多年后都认识不到高斯的伟大。Bolyai还大体上记下了这样的感受：“真是羞愧啊，我甚至不知道如何打开高斯这本没有书名的沉默之书，从而有机会阅读。高斯对我评价甚高，可是他不知道和他相比我有多么无关紧要。对数学的热情把我们绑在了一起。我们一起在森林里漫步时，时常一句话也不说，各自沉浸在自己的思考中。”
Bolyai在数学上的才华是远远不能和高斯相比的，但是高斯在和他的讨论中也可以整理并激发自己的思维。或许更重要的是，和Bolyai的交流让高斯重建了推动科学的勇气和信心。Bolyai也是作为天才少年来到哥廷根大学的，但是Bolyai很快就会以崇拜的心情看待高斯。贵族和贫寒出身的巨大差异丝毫也没有改变Bolyai对高斯数学才华的敬佩。
部分由于和高斯在数学才能方面的差距，Bolyai在数学上的激情多少受到了抑制。但是Bolyai对欧几里德第五公设的兴趣一直保持了下来，他和高斯就此进行了很多讨论，最后还把这种兴趣传递给了他的儿子。如果高斯要成为数学的教主，有信徒绝对会是一个润滑剂。Bolyai后来也成为了数学教授，特别有意思的是，Bolyai的儿子后来将和高斯、罗巴切夫斯基一起开创非欧几里德几何，一个划时代的工作。这样一个几何将在爱因斯坦建立广义相对论时发挥巨大作用。
高斯和Bolyai的友谊维持了一生。事实上，他们还很郑重地相互宣誓成为终身的朋友。很可能，这是高斯仅有的一次。和Bartels一起学习的童年时期，毕竟对友谊还停留在玩伴阶段。青年时，则可以从志向的角度去严肃看待友谊。
1797年，Bolyai陪伴高斯经过漫长的步行去Braunschweig拜访高斯的母亲。这大约也是宣誓成为终身朋友的一个仪式吧。据说高斯的母亲问眼前的这个贵族青年，高斯在大学里有什么表现之类。Bolyai有点夸张地回答说高斯已经是欧洲最好的数学家。可以想像高斯的母亲激动得热泪盈眶。这个故事在我看来是很可信的。任何母亲都有了解后代表现的强烈好奇心，何况是让她无比自豪的高斯。
语言还是数学，这是个问题
高斯的数学课老师是Kästner教授。显然高斯从Kästner教授的课堂里没有学到很多新的知识，因为来哥廷根之前高斯已经熟知了那些内容。高斯曾评价Kästner教授为诗人中的数学家，数学家中的诗人。高斯还特别画了一个Kästner教授的漫画，在漫画中Kästner教授在黑板上写的算术计算是错误的。年轻的高斯也有叛逆的一面啊。
高斯勾画的关于数学教授Kästner(1719-1800)的漫画。高斯后来将很遗憾地意识到Kästner在诗歌和数学方面其实都有很杰出的贡献。可惜高斯到哥廷根大学时，Kästner年事已高，实在没有精力体现他的数学才能了。月球上还专门为Kästner命名了一个火山口。
哥廷根大学在学生选课方面给予了很大的自由度。高斯可以在自学数学的同时，选择他喜欢的很多课程。
高斯最钟爱的课程是Heine教授的语言课，在这里高斯为希腊诗深深打动。其实数学除了严格之外，数学之美是充满诗意的。所以Kästner教授同时重视数学和诗并无过错。在哥廷根大学高斯意识到原来Braunschweig的数学教授Pfaff有非常好的声誉。这位Pfaff教授将在高斯毕业后提供很大的帮助。
年青的大学生们同样有作乐的一面。他们时常在小酒馆里一面喝葡萄酒，一面讨论人生和教授们的趣事。高斯也加入了进来。Ide、Bolyai、Eschenburg和高斯在一起时最喜欢的话题仍然是数学。几百年后，有一个了不起的物理学家叫费曼。费曼28岁时就成为加州理工大学的教授。他的一个癖好就是游离于小酒吧中推导复杂的数学公式。
经过短暂的犹豫，高斯终于在语言学和数学中选择了后者作为人生的职业。这是需要勇气的，因为语言学比数学在毕业后更容易找到职业。关于这一点，在高斯毕业后会有深切的体会。显然与Bolyai的交流和友谊也促使高斯下定了决心。
这样一个理想一旦确立，高斯的创造力就开始爆发了，风格也开始确立。高斯研究了一系列大的数学问题，若干问题在Carolinum学院时就有所触及。对于任何人而言，取得大的科学突破都需要持久地考虑那些最根本、最有深远意义的科学问题，高斯也不例外。而这往往也是区别一般科研工作者和科学大师的一个根本特征。对于那些大的数学问题，高斯并不需要无时不刻去研究。他将这些问题珍藏在心里，总有一天，灵机一动，再集中攻坚，就会有解决的希望。
脑风暴
1796年3月30日晚上，高斯体会到了灵感带来的创造激情和美妙，这样的脑风暴一直都印刻在高斯的脑海中。这个晚上，高斯作出了一生中最伟大的发现之一。这就是正十七边形的尺规作图。在Zimmermann教授的帮助下，高斯的这个工作在一个不出名的期刊中发表了。这是高斯发表的第一篇论文。这一年高斯不到二十岁。
高斯一生都把这个工作看作是最大的贡献之一。但是为什么高斯没有在更著名的杂志中发表呢？这是有缘故的。高斯很善于抓住机会得到别人的认可和支持。有了这个工作，他当然要去告诉Kästner教授，尽管那个时候高斯并不欣赏这个老师。大约生平第一次，高斯得到了负面的评价。Kästner教授完全不相信，也不愿意花时间去检查高斯的工作。最后，不耐烦的Kästner还企图把高斯从房间里赶走。这个时候，高斯自然就想到了Zimmermann教授——那个永远支持自己的老师。和Kästner的交锋带来的益处是高斯得到了心理上的锻炼。如果你想作出重大科学发现的话，你总是要面临很多诘难，乃至粗暴无礼的贬低。现时代也完全如此，多少无趣的垃圾审稿意见在摧残一个个埋头专研科学的灵魂啊。高斯的另外一个收获是明白了，如果想说服人并避免任何可能的错误，你最好给出几个不同的证明。后来，高斯就是这样去做的。
将知识的边界向前推进的雄心
我们前面提到，进入哥廷根大学后不久，从对牛顿、欧拉和拉格朗日的学习中，从与Bolyai的交流中，高斯确定了追求数学的理想。从正十七边形的尺规作图的求解带来的激情中，高斯则不单坚定了理想，还有了不可抑制的雄心，他后来曾写道：“通过追随他们的脚步，我感受到新鲜空气带来的狂热，我坚定了自己的决心，那就是在宽广的科学领域里将知识的边界向前推进”。这样一种“将知识的边界向前推进”的雄心伴随了高斯的一生。
高斯深切知道推进知识边界的勇气会带来巨大的反作用力。大家可以设想一下，你想作出开创性的发现，而且你也真的发现了。于是你去告诉世人你的丰功伟绩，可是别人凭什么相信你呢。和Kästner教授的交锋就是一个例子。高斯的策略是既坚持自己推进知识边界的勇气，又极其严谨地去推进数学的新认识。
新的思想不断涌现，野心在不断膨胀，正十七边形的尺规作图让高斯第一次意识到自己超越历史上伟大数学家的力量。就在正十七边形的尺规作图得到解决的这个月，高斯开始秘密记载数学发现的数学日记。数学日记持续了近二十年，但是大部分内容是开始记载的头五年。第一个记载的发现当然就是正十七边形的尺规作图的求解。伟人的成长过程中都会有一些奇遇，高斯的一个奇遇就是正十七边形的尺规作图的求解。前面提到的高斯关于素数表的境界在这里也体现了出来。
高斯的座右铭是“少而精”。他还设计了一个图章，在苹果树上只有七个很大但是完美的苹果。为什么是七个，仍然是一个谜。由于这个图章，Bolyai坚持认为高斯的坟墓不应该有任何纪念碑，一棵苹果树足以。既可以印证高斯图章的意念，又可以表现高斯崇拜的英雄牛顿在苹果树下发现万有引力的故事。苹果树的设想很浪漫，但是苹果树的生命未必长久。高斯的意愿则是在石头上刻正十七边形。现在看来，可能Bolyai的意见更加合理。高斯图章的理念反映了他一生的追求。这个理念就是对完美的执着。高斯认为发表出来的东西就应该是尽善尽美，很多年后也不应该有需要修改的任何东西（除了出版商的打印错误）。由于高斯这种对完美的追求，数学日记中记载的很多想法都没有发表。
无论是高斯还是Bolyai的设想都没有实现。石匠的倔强脾气再次印证了。高斯死后，尽职的石匠认为正十七边形刻在石头上，在任何人看来都只是一个圆，因此他最后只刻了对称的17颗星星。真是了不起的石匠啊。无论如何，高斯的墓前应该种上一棵苹果树，可惜我不知道是否有这样一棵苹果树的存在。有机会的话，一定去看看。
阿基米德发现球体体积正好为圆柱体体积的三分之二。如果要选择古希腊最有代表性和深远意义的数学成果方面的标志性图案，我会投上面这个图一票。
高斯关于墓碑的想法受到了阿基米德的影响。阿基米德曾发现球体外正好包围一个圆柱体时，球体体积就严格为圆柱体体积的三分之二。阿基米德的意愿就是将圆柱体正好包含球体的图形刻在他的墓碑上。阿基米德被杀害两百年后，罗马人重新发现了阿基米德的墓碑，这个标记几乎完好无损。
罗马人攻占希腊时，据说阿基米德发明了很多武器和罗马人对抗，让罗马人吃了很多苦头。当时罗马的统帅马塞拉斯非常敬佩阿基米德，下达了不准伤害阿基米德的命令。可惜攻破城后，一个罗马士兵来到正在埋头计算和设计的阿基米德面前。阿基米德没有理会他，而这个士兵大约也不知道他就是阿基米德。无知和暴虐的士兵就这样把阿基米德杀害了。马塞拉斯为阿基米德修建了相当好的陵墓，并举行了盛大的葬礼。阿基米德生前的遗愿也在墓碑上实现了。
阿基米德被杀害的故事流传了下来，却在一定程度上拯救了高斯。高斯离开哥廷根后回家乡呆了很多年。后来，拿破仑的军队攻破欧洲很多城池，也包括Braunschweig。幸好有人专门向拿破仑指出高斯就是当代的阿基米德。进军Braunschweig的军队得到了拿破仑的指示，不能伤及高斯。至少这是一个重要的原因，高斯没有受到肉体上的伤害。从精神上，高斯没有原谅法国人。公爵就在这次战争中阵亡。后来法国授予高斯Lalande奖章以表彰他对天文学方面的贡献。高斯接受了奖章，但是拒绝了法国人的奖金。Germain想出了一个绝妙的主意，用部分奖金购买了一架精致的摆钟赠送给高斯。高斯接受了这个礼物，因为他正在开展的天文观察迫切需要准确测量时间。
推进知识边界的勇气一直在哥廷根大学持续。很显然，高斯不会满足于正十七边形的尺规作图的求解。在高斯看来，数学是科学的王后，数论则是数学的王后。在哥廷根大学期间，数论已经是一个陈旧的数学分支。人们悲哀地发现数论的推进似乎不太可能了。高斯挺身而出，要将数论单枪匹马带入到一个新的高度，引入新的生命力。这就是在哥廷根大学时高斯就着手规划的一本包括高斯新认识的巨著《算术探讨》。正十七边形的尺规作图是一首诗，而《算术探讨》在规划中则是一部史诗。高斯完全知道这部著作将把自己带入到数学巨人的殿堂，但是他需要时间和专心研究、著书的机会。
别了，哥廷根
高斯离开哥廷根时，Bolyai与几位同学去送别高斯。告别之际，Bolyai想到可能不会再见面时，一句话也说不出来，泪水奔涌而出，哭得象个小孩。分手时的握手让人觉得死了一样。Bolyai在信中写道：“未来之书就此关闭。”[Bolyai离开哥廷根前与高斯再见了一面，从那以后，高斯和Bolyai再也没有机会会面。］他们之间后来的通信成为研究高斯生平的珍贵资料。“再见了，朋友，再见了”高斯在分手之际不断重复。在回家的路上，除了稍稍忧虑职业前途外，成为数学巨人的野心丝毫也没有动摇。相信高斯会默默对自己坚毅地说：“勇敢地走下去，绝不回头。”
结语和展望
在哥廷根，高斯不单确立了自己的理想，由于正十七边形的尺规作图的解决，高斯还树立了“将知识的边界向前推进”的雄心。高斯仍然没有享誉世界。但是在那个秘密的数学日记中，高斯已经记载下无数的新思想。仅仅基于数学日记中的新思想，高斯可以完成一些开拓性的论文。但是高斯的野心远不止于此，他发誓要为自己建立一座丰碑，那就是将自己的想法不只是写若干篇论文，而是写成巨著《算术探讨》。但是未来的职业和生活仍然漂浮不定，这种阴影在整个哥廷根期间挥之不去。那么高斯又将如何克服重重困难呢？在下一章，我们将看到高斯如何无畏、艰苦、严谨地依靠自己的力量去书写人生的传奇。
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