邹大海：出土简牍开启中国古代数学世界的大门
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出土简牍开启中国古代数学世界的大门
邹大海
（中国科学院自然科学史研究所）
谢谢各位女士、各位先生的光临，感谢大家在周末休息的时间来听这样一个比较枯燥的报告，这对我是一个鼓励。讲座题目是《出土简牍开启中国古代数学世界的大门》，这个主题的领域是数学史。数学史实际上涉及两个领域，一个是数学的领域，一个是历史的领域。数学大家都有充分的认识，这个学科“无孔不入”，这是我国最著名的一位在世数学家吴文俊先生的说法，意思是数学在什么地方都有。另外一个就是历史领域，历史学是中国一个古老的学科，在中国古代就很受重视，比数学要受重视得多。历史学也是一个非常重要的学科，实际上任何事物都有它的历史，所以我杜撰了一个说法叫做“无物无史”。认识历史对于我们认识世界，甚至于认识自己都有很重要的作用。当然，平常说的历史学不包括自然史。
我们今天讲的范围，首先是我们中国的数学史。中国有悠久的历史，包括方方面面的历史，数学也是其中一个重要部分。数学史以前不是太受重视，后来随着现代社会的进步和现代文化的兴起，数学和数学史也随之受到了重视。现代中国对历史有方方面面的研究，中国数学史的研究起步也比较早，实际上也成为历史研究的一个很重要的方面。
在研究历史的时候，史料是一个很重要的方面。史料的种类很多，以前常用的是所谓的传世文献，是通过传抄、刻印等手段，把那些比较久远的历史材料一代代地传下来形成的。随着材料的扩张，考古材料成为一个重要的方面，其中很重要的部分就是简牍。简牍是在纸张广泛应用以前主要的书写材料。我现在所讲的内容就是逐步地从一个比较大的范围进入到一个小的范围，即简牍和中国数学史。由于简牍本身并不是一直在用，所以本次讲座牵涉的时段属于中国数学史的早期阶段。
本报告主要分为以下几个方面。第一是引言。第二是关于一些数学文献、数学材料的具体介绍。第三是数学发展与社会环境的关系。第四是用简牍材料检验以前的研究结论和研究方法，进而改进今后的研究方法和思路。第五比较宏观，利用简牍材料来勾勒中国古代数学在早期阶段发展的宏观脉络，对简牍在其中所起的作用做一个初步的探讨。最后是结语。
一、引言
首先讲一下什么是简牍。把竹子和木头加工成片，比较薄、比较窄的称为简，比较厚一些的、比较宽一些的称为牍，合在一起就称为简牍。一般来说，简是用竹子做成的，通常比较窄，牍是用木头做成的，比较宽；但是也有宽的竹牍和窄的木简。简牍作为书写材料，是文字的载体，古人在上面写字、画画。我们利用简牍来研究历史，主要看重的是它上面所记录的内容，即在简牍上书写的文字、符号，偶尔还有图画。为简单起见，我们说到简牍，强调的就是它上面所记录的内容。当然简牍本身有时候也会用到，但主要还是利用上面的内容。
简牍的使用主要是在公元三世纪及以前，因此简牍所能反映出的数学发展情况，也只是公元三世纪和以前的情况，基本上不能反映更晚的情况。当然偶尔后面的时代也会有一点材料，但是非常少。简牍后来被纸张所取代，取代久了之后，大多数人，甚至是学者，就对简牍比较陌生了。通过简牍，可以比唐人、宋人或者明人看到更早的一些材料，这是现代人跟一定时间段的古人相比更占优势的一个方面。
20世纪初西方的一些探险家在中国西北发现了一些简牍，从那以后就陆续有一些简牍被发现，这些发现深刻地影响着中国历史研究的很多方面。王国维曾经说过，重大的发现会对学术有重大的影响。关于现代学术，他说有四大发现，即“殷虚甲骨文字、敦煌塞上及西域各处之汉晋木简、敦煌千佛洞之六朝及唐人写本书卷、内阁大库之元明以来书籍档册”[1]，其中第二项就是简牍。起初发现的简牍还比较少，只有几百枚，经过这么多年后，发现简牍的时段和地域都大为扩展，现在简牍的数量据估计总量在三十万枚以上，而且还在陆续增加。
简牍材料对中国历史和文化的研究产生了深远影响。在中国数学史研究中，简牍材料的应用曾经是比较有限的。最早是王国维整理了九九残简，九九就是我们现在所说的乘法口诀，因为最开始的那一句是“九九八十一”，所以这个乘法口诀又叫九九。后来我们中国数学史的开山祖师李俨先生就据此加以介绍[2]。
早期比较系统地利用简牍来研究数学史的是严敦杰先生。严敦杰先生在劳幹的《居延汉简考释 释文之部》1943年出版以后就发掘其中与数学相关的材料，并且和相关传世文献进行对照，发表了《居延汉简算书》，说明更多的数学史问题。这是早期数学史研究的一篇比较有份量的文章。后来利用简牍对数学史的研究有建设性的论著不多，基本限于严先生的范围之内。这样的局面维持了很长一段时间，一直到1983年和1984年之交的时候，在湖北江陵张家山的247号汉墓中出土了一部数学著作，叫做《算数书》。随着这部书的出土，陆续有一些关于它的材料披露出来，除了对《算数书》本身以外，也带动了对其他简牍中数学信息的发掘与利用。
图1就是《算数书》一些简的照片。图2的两支看上去较大的简是图1中右边两支简上
图1
部的放大照片。图2右边是六号简的背面，上面是《算数书》的书名；左边的这支则是一个数学问题的开头，内容是关于乘法“相乘”条的前面几句。这部书很重要，它是已经发现的第一本大部头的整部数学著作，而且它的时代也很确定。它是在吕后二年即公元前186年或最多晚一年的一座墓里出土的，所以这部书的时代肯定不晚于比吕后二年[3]。
图3是在湖南西部龙山县里耶镇的一个古井里出土的材料。这则材料记录的是九九表，就是我们所说的乘法口诀表，以“九九八十一”开头，这是一个比较完整的表。但是很遗憾， 它前面这两句“九九八十一”、“八九七十二”破损了，没保存好，不过还是能看得出来。
虽然1983、1984年之交的时候已经出土了这部《算数书》，但是整理时间很长，由于各种原因它发表得比较晚。可能有的同志不太知道，考古学界有一个规矩，发掘整理的人如果没有把材料整理出来正式发表，那么别人一般是不能去染指的。一般情况下，如果不是直接参与的人，很少有机会接触到这种材料，即便接触到也不能去利用。一直到2000年的9月份，才在《文物》上正式地发表了《算数书》。
利用简牍材料研究中国数学史，主要是从2000年以后才热起来的，到现在也有十多年的历史。随着中国基础建设的大发展以及盗墓贼的“专业化”，古墓被发掘或者被盗掘的情况也就越来越多，所以我们见到的材料也会越来越多。关于古代数学的一些比较重要的大批量材料主要是从2000年以后才有机会见得比较多，当然以前也会有一些。我这里对与数学有关的简牍材料分两类做一个简单的介绍。
（一）专门的数学材料
首先要提到的材料，就是我们刚才所说的张家山汉墓出土的《算数书》，它是正式考古发掘的。
第二项材料叫做《数》，是湖南大学岳麓书院从香港的一个文物市场里买回来的，这批简共有两千多支。其中有一部分，约有两百多支，是一部数学书，题有书名叫《数》。这批竹简里有年号，其中一支简所记录的年份最晚，是公元前212年，所以估计《数》这部书可能也是在公元前212年左右的一座墓里发掘出来的[4]，到底是不是从同一个墓里面发掘出来的，现在还不能完全确定。
第三项是北京大学藏秦简中的数学书，也是来自香港文物市场，是由北大校友买回来捐给北大的。它可能是从一座秦始皇后期的墓里发掘出来的，这座墓出土的材料上最晚的年代是公元前214年[5]，所以时间大致跟前面的《数》差不多。其中的数学内容非常丰富，但是现在公布的内容很少[6]，而岳麓书院的《数》已经全部公布了。
第四项是睡虎地汉墓竹简《算术》，这是在湖北云梦睡虎地的一座墓里挖出来的，时间大约是公元前157年前后，也是由正式的考古发掘出来的材料。[7] 目前只公布了很少量的材料。[8]
第五项是安徽阜阳双古堆汉简算书。这是出自西汉文帝时期的墓，时间不晚于公元前157年。这部书现在只存有20多个编号的竹简残片，所以量很少，但是里面有很重要的内容。[9]这也是比较早发掘出来的。
第六项是20世纪70年代山东临沂银雀山汉墓出土的竹简算书，墓的时代是在汉武帝的早期，也只残存了一些碎片。这座墓大家比较熟悉，因为里面出土了《孙子兵法》与《孙膑兵法》两部书，这两部书的出土解决了长期以来围绕《孙子兵法》、《孙膑兵法》聚讼不已的问题。这里面也有一点算学的材料。
第七项是清华大学收藏的战国时代算表，这是目前为止最早的数学材料，不过这个材料到现在还没有发表[10]。其他还有一些零零星星的材料，就不具体介绍了。
（二）非专门而与数学有关的材料
我们研究数学史的时候，有时候不光是研究数学的材料，也要利用别的材料来研究。简牍里面也有一些其他的材料，对数学史的研究非常有用。这些材料实际上很多，我们现在所能说出来的可能还比较少，有些是我自己关注到的，比如说睡虎地的秦简，这是最早发现的秦代简牍，记载了很多关于法律的东西，对秦代历史的研究很有用。其中有一些东西可以跟数学的材料联系起来，对数学史的研究也非常有用。睡虎地秦简有一个好处就是时间标志的意义比较大，它距离秦始皇统一中国只晚了四年。
另外就是张家山的汉简，与刚才提到的对于数学史研究具有重要意义的《算数书》是同一个墓里发现的。其他就是我们很熟悉的居延汉简、敦煌汉简里的一些材料。还有一批材料是香港中文大学文物馆收藏的简牍，这批简牍里面也有一些材料对数学史的研究非常有用。
以上概括了简牍材料的情况和对数学史研究的意义，下面我们看一下简牍材料到底呈现了怎样一个数学世界。
二、两千年前原汁原味的数学文献：问题、方法和思想
图4是睡虎地的《秦律》，是秦代或战国时秦国的法律材料。其中关于怎样考核的一些内容，称之为《效律》，大致内容是规定如果哪些工作做坏了，坏到什么程度，就要相应地做怎样的处罚。其中很多地方就涉及对数学计算水平的要求。
下面介绍一下具体的数学材料的情况。以前我们主要利用传世的文献来研究数学史。传世材料很重要，其中最早也是最重要的数学经典是《九章算术》。对于研究数学史的学者来说，以前要了解早期数学的情况就要先看《九章算术》，但是《九章算术》作为传世文献，是一代一代、一份一份地抄写或刻印流传下来的，几乎每一次都会有或多或少的变化、差错。已知《九章算术》最早的刻本是公元1084年的刻本，保存到现在的是一个1200年的翻刻本，这也是现存最早的《九章》版本。1084年的版本距离《九章算术》编成，大概有1100年的历史，甚至更长一点。
面对这样的材料，我们就要充分考虑它是不是有可能出错。我们通过简牍提供的一些实例可以检验一下这种情况。比如说第一个例子，有关分数的加法法则，它在《九章算术》里已有了。在岳麓书院藏秦简里有一个问题，叫做“合分述”，也就是两个分数相加的方法：“母乘母为法，子互乘母为实，实如法得一。不盈法，以法命分”。“合分述”的“述”通“术”；《九章算术》也有一个“合分术”，内容是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命分。”
这里面有一些术语，我们大致解释一下。“母”和“子”分别是分母和分子的意思。“实如法而一”中，“实”就是被除数，“法”是除数，“实如法而一”的意思是说实里面如果有一个法，就得到一，言下之意就是有几个法就得到几，它实际上相当于我们现在的被除数除以除数的概念。
具体来看一下，比如说有两个分数和，要求它们的和，这就是合分。“母互乘子”，就是先由一个分数的分母，比如说前面这个分数的分母是a，它乘上另一个分数的分子d，即a×d；然后它的分子b又乘后面那一个的分母c，即b×c，再把这两个乘积相加，得到的和（ad+bc）就叫做“实”，也就是被除数。接下来，就是将两个分数的分母a、c相乘，“母相乘为法”，就是以ac为法，也就是除数。然后用这个算出来的法去除前面算出来的实，如果除尽了就得到一个整数，如果除不尽就不仅得到整数部分，而且实中还有余数，也就是实中“不满法”的部分，即比除数小的这一部分。这个时候怎么办？就要“以法命之”，就是说用除数来作为分母，以余数为分子命名一个分数，最后的商是一个带分数。两种文献除求实、法的次序相反、个别文字不同外，其他的完全相同。这是古代做分数加法的情况，在出土的简牍里关于四则运算还有很多其他的问题和方法，说明《九章算术》的四则运算法则是早已有之的。
第二个例子，是约分与求最大公因数，后者是为前者服务的。约分与求最大公因数，一般都是在小时候就学过的内容。在张家山汉墓《算数书》里有一个条目，写的是约分和约分术。这里面讲到如何约分：“以子除母，母亦除子，子母数交等者，即约之矣。”这里面的“除”字表示什么？不是我们现在做除法的“除”，而是表示“除去”，也就是相减。用这个分数的“子”去除“母”，就是从“母”里面减去“子”，减完以后这个结果又跟前面两个数中那个较小的相减。如此反复地相减，最后就会得到两个相等的数，也就是说最后余下来的数跟减数相等，古时候就把它叫做等数，也就是分母和分子的最大公因数，以这个数去除分母、分子就约分了。该条目里还会讲到是否为偶数的情况，如果是偶数的情况就先要折半，因为具体讲起来比较复杂，我就不说太多。总之，大致思路就是我刚才所说的那样。
下面是《九章算术》里面关于约分与求最大公因数的内容，它就显得更加简略，而且表述也更加精确：“副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”它是用分子、分母里面小的数去减大的，余下的数跟减数又相减，这样一直减下去，就会达到余数跟减数相等的局面，这就得到等数，以它除分母、分子就约分了。这种表达更加一般化，也更明确一些，实际上它们两个的方法是一样的。我们还可以看到《九章算术》与《数》或者《算数书》有很多其他的相似之处，甚至是一样的方法。
有一个例子牵涉到比例的算法，比例算法是日常生活中常用的算法，从小学就已经在学。比例算法在《九章算术》里面很多，在出土文献里面也有很多。出土简牍中有个“女织”的问题，在《九章算术》里也有类似的问题，而且这两个问题的数据几乎是一样的，只是稍微有点区别。问题的大意是说有一个女子，她很善于织布，她今天织的布是昨天的两倍，明天织的又是今天的两倍，就这样一直织了5天，共织了5尺布，问她第1天、第2天一直到第5天，每天分别织了多少布？这个问题涉及到比例分配的概念。她每天的织布量，在《九章算术》里面取的比例是1、2、4、8、16，《算数书》里面取的比例是2、4、8、16、32，可以看出这两个比例实际上是一样的，只是有两倍的关系。有了这样的比例，然后就用相当于我们今天比例分配的方法来解题。《算数书》里面是这样解，《九章算术》里面也是这样解，这就说明《九章算术》里的题目是有更早渊源的，而不是在它流传过程中间有人随便加进去了这样一个问题。
在更早的秦始皇末期的岳麓秦简《数》中也记录了一个方法，这个方法对应着一个类似的问题，它是说一个人每一天都比他上一天要多织一倍，3天共织了10尺布，求每一天分别织了多少尺的布。这里边记录的方法跟前面两个问题记录的方法是一样的。几个问题之间的这种相似性可以说明汉代的《九章算术》中就应当有这一类的记载，不能因为现存最早的《九章算数》版本是宋代的，就怀疑汉代的版本中原本没有这样的记录，从而认为它是流传过程中间加进去的。现存的汉代文献，有些只有宋代的版本，甚至只有明代的版本，但不应该轻易否定其真实性，如果没有确凿证据，就不要轻易地把它说成是流传过程中加进去的。
接下来的例子也能说明这个情况，这是岳麓秦简中一个计算等腰梯形面积的问题。丈量计算田地面积是古代一项很重要的活动，所以中国古代关于面积计算的问题主要是依附在田地计算这样实际应用的背景上设立的。这里涉及到一个概念叫做“箕田”（图5），是一个等腰梯形的样子。可能城里的朋友不太了解箕田，但是农村的朋友应该很多人都知道、都用过簸箕，箕田就是形状像簸箕的田。《数》说：
箕田曰：并舌、步数而半之，以为广，道舌中丈彻中，以为从（纵），相乘即成积步。[11]
舌，舌头，这里指梯形的上底；，通“踵”，脚后跟，这里指下底。舌和踵，就是头和尾。“并舌、踵步数而半之”，就是把上面这一条边加下面这一条边，加完以后折半，也就是除以2，用它作为“广”，也就是作为一个宽度。然后“道舌中丈彻踵中，以为从”，意思是把上面这条边的中点E、下面这条边的中点F连起来，把这条连线作为“从”，然后把“广”和“从”相乘，就得到这个等腰梯形田的面积。这里涉及到“广”和“从”（通“纵”）的概念。古代把东西方向的长度称作“广”，南北方向的长度称作“从”。当然也不一定是严格地按照东西、南北方向，稍微斜一点也可以，笼统地指两条互相垂直的长度也是可以的。古人在求面积的时候利用的这种算法，跟我们现在用上底加下底、乘高再除以2是一致的。
在《九章算术》里也有类似的算法：“术曰：并踵舌而半之，以乘正从。亩法而一”，只是词汇的使用不一样。它用“舌”、“踵”，但没有用“广”、“从”，而是用的“正从”，“正从”表示高，比较明确。前面讲到舌的中点E到踵的中点F的连线EF要作为“从”，那么我们能看出这是对称的形状。以前说箕田的形状是等腰梯形，但没有明确的证据，现在利用这道题目就可以证明箕田问题确实是讲等腰梯形的。
我们今天计算梯形面积的方法，上底加下底、乘高再除以2，跟古代是一致的，只是算法上有点不一样。古代是先把上底加下底，加完后先除以2再乘以高；我们现在是加完后先乘以高再除以2，所以步骤上有些不一样。《数》的这道题目有一个特点，它体现了古人是以何为广，以何为从。出现广和从的概念，就意味着这道题实际上是把等腰梯形当作长方形来看待的，所以这里面体现了一种思路，就是对于那些不规则的多边形，求它们的面积时要化成长方形来处理。在《九章算术》里就没有体现这样的思路，它只是一个很具体的上底跟下底相加、除2再乘高的计算步骤。这就是《数》体现的秦代算题的原汁原味，两种算书体现的信息有些不一样。
下一个问题是圆台体体积的计算。古代把圆台叫做圆亭，在岳麓书院秦简里面有一个圆台体积的计算方式。在张家山汉简和《九章算术》里也各有一个计算方法。这三本书的计算方法实际上都是一样的，相当于是分别求出上底周长的平方，下底周长的平方，上底周长与下底周长的乘积，把这三个乘积相加，之后乘以高，然后再除以36。这种算法实际上取圆周率为3。取圆周率为3也是中国古代很独特的一个现象，中国古人从很早的时候就是取圆周率为3，到后来的学者比如刘歆、刘徽等人加以改进，再到众所周知的祖冲之将圆周率算到了小数点后的7位，虽然已经算出来较为精确的圆周率，但很多问题还是继续取圆周率为3。取圆周率为3被认为是古法，即古代的方法。可能对很多的应用问题来说，取圆周率为3也不是那么不精确，而且古时候还没想到要用符号来表示圆周率，所以在列举具体数学问题的时候，为了方便说明问题就还取3了。虽然别的圆周率有时候也用，但是用3的情况特别多。
如果我们撇开圆周率3这个不精确的数据不管，上面三种书所提供的方法就是完全准确的公式，稍微有一点区别就是先求上下底周长的平方还是先求上底周长与下底周长的乘积，这只是次序上面有区别，其他的基本没有区别。三种书都记载了这样的公式，就说明这类公式应该是在很早的时候就为中国人所熟知了。圆台的体积公式是很复杂的，单凭猜测或者经验是很难得到这样的体积公式的，这也说明当时应该有比较好的推导方式。
下面这个例子是盈不足方法。盈不足是中国古代一种带有普遍意义的解题方法，这个方法后来经过阿拉伯一直传到欧洲。现在国际数学界比较明确的观点，认为这个方法可能是中国影响其他地区的。在《九章算术》里面专门有一章来介绍这个方法的各种情形。以前把这个方法归到不晚于《九章算术》成书的时代，也就是公元前一世纪。现在简牍材料证明这个方法其实出现得很早。
岳麓秦简《数》里用“盈不足”求解一个问题：
贷人钱三，今欲赏（偿）米，斗二钱，赏（偿）一斗，不足一钱，赏（偿）二斗有赢一钱，即直一斗、二斗，各直赢、不足其下，以为子，子互乘母，并以为实，而并赢、不足以为法，如法一斗半。
这实际上是一个借钱还米的问题。比如我从一个人那里借钱借了三钱，但是还的时候不还钱，还什么？还米。已经知道米价是一斗二钱，问应还多少米？这个题目比较有意思，假设还一斗的话，那么它还不足一钱，就是说还差一钱没还上。如果还二斗米的话，又多还了一钱，问应该还多少米？古人是用算筹来计算，把假设的数一斗、二斗放在一排（称为母），然后把相应的不足数和盈数置于下方（称为子）。也就是说，第一次是还一斗，第二次还两斗，把这两个数排列好。还一斗的时候不足的一钱，还二斗的时候多出的一钱，放在下面排好（图6）。排好以后就把它们交叉相乘，乘出来的结果相加，得到的和就作为被除数。然后把底下这两个数相加，作为除数，相除得到斗，就是应该还米的数量。
我们只需稍微留意便会发现，这个题目解得特别复杂，它本来是很简单的：借人3钱，要还他米，一斗是两钱，我用3钱除以这2钱不就得到一斗半吗？为什么弄得那么复杂？所以这可能也是古人比较有意思的一个方面，他兜了个大圈子，为什么要兜这么大一个圈子？这就说明作者设计这个题目，其目标不是要算这个题，而是要用一个很简单的数据来展示怎样用盈不足方法来解决问题。盈不足方法有很多种情形，做假设时的结果有的时候是两次都多，有的时候是两次都少，有的时候是一次少一次多，有时候是一次少一次正好合适，会出现各种各样的情形。《九章算术》里就详细地记录了各种情形，出土文献记录的则不完全，但是我们可以通过一些不完全的信息推断，《九章算术》里记载的方法实际上在出土文献中都能够体现出来，它们的作者已经会用这些方法了。结合这样多方面的考察，可以知道，盈不足这套方法实际上在先秦时期，即秦统一以前早已出现，只是当时的某些术语会不一样。
下面是关于勾股的一个有趣的题目。勾股我们大家都知道，初中的时候都会学到勾股定理，它不论是在古代还是现代，都是一个很重要的定理。这个定理经过扩展，影响到数学的很多领域，包括现在数学界最大最有名的菲尔兹奖、沃尔夫奖的得主，都有人的得奖成果是对勾股定理演变而来的结果进行研究得到的。
关于勾股定理的这个趣题是岳麓秦简里的：
图7
□有圆材薶（埋）地，不智（知）小大，斲之，入材一寸而得平一尺，问材周大几可（何）？即曰，半平得五寸，令相乘也，以深一寸为法，如法得一寸，有（又）以深益之，即材径也。
它说有一段圆形的木材埋在地里，不知道木材的大小。用斧头去砍的时候，砍进去一寸深，口子的长度是一尺，就只知道这两个条件，要求木材的周长。但是这个题目后面的文字有点问题，算出来的结果是它的直径。是前面“材周大几何”有错还是“径”字抄错了，这还不太肯定，但很有可能前一处抄错了。
古人是怎么计算的呢？我们来看，古人面对这样一个圆形（图7），不知道它的直径，因为基本上都埋起来了。用斧头去砍的时候，就获知矢h是一寸，弦a是一尺，古人求木材直径的具体算法是：把弦折半，即除以2，得到a/2，再平方，之后再除以矢h，除完以后得到的商数，再加上这个矢的长度h，即可以得到直径。这个算法相当于公式：
在《九章算术》“勾股”章中第九题也是同样的问题，只是稍微有点区别。《九章算术》的情境是木材埋在墙壁里，而不是埋在土里。岳麓秦简是用斧头去砍，《九章算术》是用锯子去锯，锯出的深度也是一寸，长度也是一尺，数据都是一样的，计算方法也是一样的。
我们现在看到这道题，可能觉得它跟勾股定理没有太大的关系，这需要做一个说明，说明这个方法是怎么来的。数学史家去复原这个方法的推导的时候，只有两条途径，一条途径就是用勾股定理，另外一条是用相似三角形对应边成比例的定理来推导。当然用后一个方法即相似三角形的定理来推导实际上更为简单，但是更简单并不意味着古人就恰好用这个方法。为什么说不用这个方法呢？因为用相似三角形定理来推导的时候还必须用到另外一个定理，半圆周上的角是直角，里面还有一些对应的几何关系，这些几何关系是古希腊传统的思路，在中国古代的数学文献和其他文献中都没有找到一点踪迹。但是反过来，用勾股定理在中国古代是有踪迹可循的，就在《九章算术》的刘徽注里。刘徽是公元3世纪时的一个数学家，他在数学史上的地位实际上比我们熟知的祖冲之的地位还要重要。刘徽在公元3世纪给《九章算术》做注，全面地阐释了《九章算术》的方法，为那些方法奠定了理论基础。以前的算书，哪怕很难的算书，几乎没有具体记载方法是怎么来的，甚至没有这方面的说明。刘徽为《九章算术》中各种算法提供理论依据，尽管在现代学者看来只有一些是严格的，还有一些是不严格的，但是他确实奠定了这个理论基础，而且为后代的数学家所学习。
刘徽做注解时就对《九章算术》里这个勾股问题的算法的得来做了解释。他的思路要化归为前面第6题“引葭赴岸”、第7题“立木系索”的情形，归结到它们的方法。而对这两问题的解法他是用勾股定理来进行的推导。当然，他的化归还用了一些别的方法。具体讲起来比较复杂，这里就不细说。他推导的时候不是专门针对一个问题，而是把很多问题成系统做的。这套思路发展成为了一个分支，这个分支的种种思路也都属于勾股的传统。所以刘徽用勾股定理来做推导，是非常符合中国古代数学传统的。
从这样的角度来看，这道题的推导最有可能运用的就是勾股定理。《九章算术》“勾股”章前3个问题都对勾股定理有一个一般性的描述，更早的《周髀算经》里也有勾股定理的描述。所以勾股定理是古人已经知道的，没有疑问。我们虽然不能百分之百的肯定，但是古人运用勾股定理来解决这个趣题的可能性无疑是极高的。
关于勾股定理我稍微多说两句，它在《周髀算经》和《九章算术》里都有记录。《周髀算经》是一部关于宇宙理论的书，大约在西汉时期成书，里面也收录了一些更早时期的材料。《周髀算经》记载西周初年一位叫商高的数学家与周公的对话。周公我们大家都知道，孔子连做梦都梦见他，他是孔子特别推崇的西周初年的政治家。在二人的对话里面就涉及到了我们平时所熟知的勾股定理的勾三、股四、弦五的特例。
书中又记载了陈子与荣方的对话，讲到太阳（日A）的高度是8万里，太阳垂直到地面的地点（日下B）距离观测者（观测点C）6万里，求太阳到观测者的距离（图8）。图9中用红线标记的是《周髀算经》中勾股定理的原文。它实际上是以BC作为勾、AB作为股，由它们求弦AC。他怎么求呢？他说“勾、股各自乘，并而开方除之”。这相当于一个公式：AC=，也就是勾的平方加上股的平方，然后再开方。
在这个问题里，勾、股、弦分别是6万里、8万里和10万里，与勾三、股四、弦五的比例是完全相等的。有的学者认为，陈子所知道的只是勾股定理的一个特例，他并不是真正知道勾股定理，这个10万里是根据勾三、股四、弦五的比例拼凑出来的。
这种看法肯定是错误的，为什么说是错误的呢？首先，古人的说法是“勾、股各自乘，并而开方除之”，这完全是勾股定理的一个一般性描述，没有牵扯到具体的数字。其次，陈子明确说明了他这个数字是怎么来的，他说是将勾平方、股也平方，然后合并，再“开方除之”，也就是开方来求，可见最后是用开方的方法算出来的。开方这个方法，学习现代数学的人可能觉得比较简单，但实际上我们要是动手算的话，恐怕很多人都不会算。所以在古代要算开方还是一件不容易的事情。《周髀算经》不仅知道开方，而且从问题本身来看，陈子这个时候肯定知道普遍的勾股定理。陈子是什么时代的人呢？根据天象的数据，科学史家推测他观测的时代大致在公元前7世纪到公元前5世纪之间[12]。
《九章算术》有勾股定理的3种形式，还记载了它的各种应用，说明这两本书在勾股定理上肯定有更早的共同渊源。刘徽做注的时候就提到《九章算术》是很早的时候就有的书，由于秦始皇焚书，导致这部书被损坏了，后来汉代有两位数学家收集残存下来的文本，做了一番增删整理的工作，形成了汉代的《九章算术》。
按照刘徽的说法，《九章算术》“勾股”章有很早的渊源。其他材料中还有一类与勾股对应的东西叫旁要，它的时代更早，也应该包括勾股定理的内容。从传世文献的几个方面综合来看，应该是先秦时期就有勾股定理。但这只是一种合理的推测，还需要别的证据，因为流传过程中也有可能把它加进去，还是存在这种可能的，不能把它完全排除掉，这个时候就需要证据。
在这种情况下，我们来看一下岳麓书院藏秦简《数》的这个题目。这批秦简是秦始皇时期的竹简，当然这个问题也有可能更早，所以它再晚也应该是秦始皇时期的东西。这个问题本身不是勾股定理本身的陈述，它是用到勾股定理，那就意味着勾股定理在更早的时代就已经为人所知，才有可能应用到方方面面中去。所以我们可以这样说，秦简里的这道特殊的题目为勾股定理在先秦甚至更早时期就存在，提供了一个比较有力的证据。
接下来一个问题就是正负数。正负数是初中代数中学习的概念。关于正负数的产生，现在国际上比较公认的是以《九章算术》中“方程”章为最早，这个“方程”与现在所说的列方程解应用题的“方程”是一样的名字，但是意思不太一样。“方程”章里引进的正负数概念，跟我们现在也有点出入。至于正负数概念是不是还可以比《九章算术》在公元前1世纪编成的时代更早，我们可以根据出土材料做一个推论。
公元前186年的《算数书》里有一个条目“医”，写在两支竹简上，是对医生治病效果的考核。这个条目里面有一些文字，由于竹简保存得不好而残缺了，但还是能了解到一些信息。我对这个问题做过一些考证，指出这个条目是对医生治病效果的考核：作为一名合格的医生，最低的标准是有效病例60个、无效病例20个，有效的病例不能比这个比例低，他才能算合格。后面又讲了一种稍微高的比例，有效病例仍为60个时失败的病例就只有17个多一点。这个条目的内容大致是这样一个情况。
在描述过程中，古人用到了“得算”与“负算”这两个词来表示有效的病例与失败的病例，它体现了一种正负相反的数量观念。这跟《九章算术》中两个数的性质是相反的这样的概念是一样的。这不同于我们平时说两个相反的事物的数量。举个例子，好比我今天赚到80块钱，昨天亏了60块钱，这里亏的钱和赚的钱在性质上是相反的，但是它不是在数量上面做区分，而是通过赚钱和亏钱这两个性质的具体事情来区分的，所以这跟正负数的概念是不一样的。
正负数的概念本身的作用也可以在生活中通过具体的实例做区分来实现，而形成正负数概念需要产生两个数量，且它们具有相反的性质，这样的概念是很特殊的，在日常生活中间其实是并不需要的，所以它最有可能的起源就是在方程里面产生，而不是由现实生活的需要而产生。古代的方程相当于现代的一元一次方程组，它的列法中没有x、y、z，而是把几未知数的系数和常数项，在几个方程中按同样的次序竖着排下来，相当于把我们现代的增广矩阵由横式变成纵式。在所谓消元的时候，要将两列数相减，这时对于有些问题的方程，会出现这样的情况，这一列与那一列相比，上面的数可能要大但同时下面的数却要小，那么不论你是用这一列去减那一列，还是用那一列去减这一列，都会出现不够减的情况，此时如果不引进新的数概念，消元求解的过程就进行不下去。也就是说在方程运算过程中，就必然会导致正负数观念的产生。在这样的情况下产生正负数概念之后，又可以用到实际生活中去。[13]
前面提到对医生的考核中出现的正负数，是不能自然地产生的，它甚至都没有讲到治病效果，所以只能视为正负数概念在治病法规里的应用。这个法规出现在汉代早期墓的竹简上，那么它是不是汉代才出现的？我们经过考证以后觉得这个可能性非常非常小，因为汉代早期的法律主要是继承秦代的。汉代初期法律趋向宽松，因为统治者总结秦亡教训的时候就说秦代法律太严，导致百姓没法过日子，所以民众才会造反。汉代也继承了秦代的法律，但是确实放得宽一些。类似规定医生治病效果的法律，我们到现在都还没这样规定。如果秦代没有这样的规定，汉代还要加进去这条很苛刻的法律，这是不符合汉代的社会背景的。
如果说汉代以前已经有这样一条法律，汉代的人把它抄下来那才是有可能的。所以我们觉得这条法律最早只能产生在秦代或战国时期的秦国。这样看来，这条法律本身应该是在更早的时候形成的，这就说明正负数的观念应该是在先秦或者至迟在秦代的时候就有了，所以才能应用到法律里面去，反过来也可以证明正负数在先秦时期是非常有可能存在的。[14]正负数只能产生在方程里，所以方程这种算法也非常有可能是先秦时期就已经产生了。
以上是关于早期数学的一些具体例子。此外，在思想方面，从简牍中也能看到古人对数学重要性的强调。现在大家都知道数学很重要，从小学开始一直到大学都在学，只要上过大学的人，起码学过十几年数学。古人也认为数学是基础，但是一般不强调它的重要性。在《颜氏家训》里面就讲到一句话，“算术亦是六艺要事，自古儒士论天道、序律历者皆学通之，然可以兼明，不可以专业”，大意是算术也是六艺里面一件很重要的事情，自古以来的儒士论天道、谈音律、讲历法的时候都要学习、弄通它，但是算术只能作为兼明的课程，作为业余学习的内容，而不能作为专业。《颜氏家训》里的这段话代表一种长期以来中国古代对数学的看法。
在对待数学的态度上，数学文献当然会呈现出一点不一样的地方，虽然也不大讲专业性，但是有的著作如《周髀算经》、《孙子算经》都讲到数学很重要，天文、地理、人事这些东西都要用数学，但这种情况不是很多。北大收藏的秦简记录了鲁久次和陈起两个人的对话，讲到数学的重要性。北大秦简现在只披露了一小部分，这段对话据说有八百多字，现在也只披露了很少的一部分，其中两支简里有几句话比较有意思：
鲁久次问数于陈起曰：‘久次读语、计数，弗能并彻，欲彻一物，何物为急？’陈起对之曰：‘子为弗能并彻，舍语而彻数，数可语也，语不可数也。[15]
我们读了这段对话，能明显感觉到陈起像是老师，久次像是学生。久次说我学习了读语和计数两样东西，发现能力兼顾不了，不能两样都弄通。如果只学通一样的话，我应该先学什么？哪一件才是最急迫的？陈起跟他说，你因为不能两样都学通了，那就把语放下，先把数弄明白了。因为数可以管语的事情，语不能管数的事情。
数当然是数学，语是什么呢？实际上不是特别确定，但我们知道以前有诸子百家之说，秦始皇焚书的时候要把“诗书百家语”烧掉，“诗”是《诗经》，“书”是《尚书》，“百家语”就是诸子百家的著作，实际上就是出自百家的一些学说。语应该也是属于这类的书，整理人打了个比方，说语相当于现在的文科，数相当于理科，说明陈起认为理科比文科重要，而且他觉得数学的功能、作用更大，所以要先学数学。陈起的回答体现了数学的重要性，把数凌驾于语之上，反映了战国时期某些学者的观念，这种例子是很少见的，以前没见过这么明确的说法。这就体现了战国时期百家争鸣的时代背景，那个时代的思想比较活跃，各种思想都有。
以上只是我们挑选出的一些例子，出土文献里面的材料还有很多，这些例证只能给大家稍微做一些介绍，方便大家体会。首先它能证明现存传世的数学文献的内容和方法一般并不是后世流传过程中才加进去的。其次，古代的数学文献往往会有一些出人意料的材料，它们提供了新的信息，开扩了我们的视野，也为我们了解古代数学的表达方式提供了直接的依据，因而具有很重要的价值。比如上面北大秦简中陈起与鲁久次对话中对数学重要性的强调就为我们认识先秦时期的数学思想提供了新的依据。在具体的数学问题方面，也有一些重要的新材料。比如岳麓秦简里有一个不定问题，非常出人意料。一般来说数学问题都有一个确定的解，而不定问题则有2个或更多的解。这个不定问题本来光整数解就有3个，书中用盈不足方法求出一个解，我们以前从来没想过会有这样的问题。还有一个方面值得注意。数学和军事关系本来非常密切，军队里很多事务也是需要计算的，但是在早期的文献里面我们很难看到关于军事的数学问题。在岳麓秦简里面，有一个关于安营扎寨的计算问题，这种问题也是以前没见到过的。当然出土简牍里还有一些别的新问题。这些新的问题非常有趣，能够让我们看到早期数学中以前从不了解的方面。
三、数学发展与社会环境的关系
中国古代数学的一个特点就是数学和实际有密切的关系。简牍材料中间有数学文献，也有与数学相关的关于社会各个方面的文献。这些材料中有很多具体细节，从中可以看到数学与其他方面的关系，比如前面提到的陈起与鲁久次的问答反映出百家争鸣的时代环境中，不同的学者对数学的不同看法。
数学与法律的关系也很重要，比如说前面所举的正负数的例子。还有一个例子值得多做介绍。
《九章算术》的第二章叫“粟米”，这一章的开头有一张数据表格：
粟米之法：
粟率五十 粝米三十
粺米二十七 糳米二十四
御米二十一 小䵂十三半
大䵂五十四 粝饭七十五
稗饭五十四 糳饭四十八
御饭四十二 菽、荅、麻、麦各四十五
稻六十 豉六十三
飱九十 熟菽一百三半
糵一百七十五
这是各种粮食的换算标准，称为“粟米之法”，它涉及很多种类粮食和把它们加工以后的产品，如没有舂的谷子（稻谷、粟谷），还有由谷子舂出的各种米、煮出来的饭，甚至还有麦子、豆子等。“粟米”这一章基本上是这张表格的应用。这个表格提供了一系列的基本常数，整部书涉及粮食换算的地方也遵循着它。我们通过考察发现，这些数据实际上是跟战国时期秦国到秦代的法律有密切的关系。[16]
在睡虎地秦墓出土的法律里面，就有关于各种粮食的比例：
禾黍一石为粟十六斗大半斗，舂之为粝米一石；粝米一石为鑿（糳）米九斗；鑿（糳）米九斗为毁（毇）米八斗。稻禾一石为粟廿斗，舂为毁（毇）米十斗，十斗毁（毇）为粲米六斗大半斗。麦十斗，为䵂三斗。麦、叔、荅、麻十五斗为一石。稟毁（毇）粺者，以十斗为石。[17]
这是法律上规定的政府仓储部门各种粮食加工或换算的比例，这种法律实际就是上面“粟米之法”的依据，这就体现了数学涉及到的一些常数与当时法律的关系。历代法律很多，而秦代和秦国的法律非常苛繁、严格，有的甚至可以说是严酷，秦律的这些特点就跟数学有密切的关系。一方面法律之所以能制定得这么严苛，必须有高度发达的数学作为保障；另一方面严苛的法律又会促进算法的改进，所以也会推动数学的进步。这就是数学跟法律的关系。
实际上数学与很多方面都有密切的关系，比如说数学与测量的关系、与度量衡的关系、与会计的关系、与统计的关系，与财政、工程、历法等方方面面都有关系，这些关系在简牍里有比较多的反映，由于内容太多我们不一一介绍。
四、简牍对检验和改进研究结论和研究方法的意义
下面我们探讨一下简牍材料对学术研究的结论和方法的影响。我们做史学要根据具体的史料来做分析，或者说直接解读某个材料。在解读材料的时候如果它有一些东西没说清楚，我们就需要根据不同的材料进行合理的推理，这样就得到一些推论。既然是做推论，由于人跟人有差异，思路有相同的地方也有不同的地方，所以结论也有同有异。有同的时候还比较好办，有异的时候怎么办？有没有什么办法来做检验？这时候出土简牍就提供了宝贵的依据。出土简牍有一个好处就是时代比较明确，而且很多内容都非常具体，它就能直接用来进行检验。
以前有一些西方的学者对中国古代的数学成就表示过怀疑。有些书我们认为是汉代的，但是最早的版本只能到宋代，有的学者就怀疑，这些书从汉代到宋代中间隔了那么长时间，是不是加进去了东西？他怀疑当然也是可以的，做科学当然需要怀疑。我们前面举了那么多的例子，把《九章算术》的一些材料跟出土简牍的对应材料做了对照，从这些非常接近的文献和算题我们可以看出，一些早期的文献比如说汉代的文献，经过了多次的传抄甚至翻刻才流传到现在，现在这个版本虽然有可能存在着变化、存在着错误、存在着增删，但是如果我们没有特别的证据的话，还是可以把它作为讨论早期数学的依据的。
我们现在再举一个例子，是关于均输的。均输是《九章算术》第六章，里面有一些很复杂的方法。以前的学者就根据汉武帝时期实行均输法来推论这个方法只能在汉武帝时期或之后，这样的推论在以前是被广泛接受的，但是出土材料证明这个观点是不对的。“均输”章的算题可以分为典型的均输问题和非典型的均输问题，前面4个问题是典型的均输问题，它们是比较难的，后面是相对比较简单的。[18]
在吕后时期的张家山247号汉墓，也就是出土《算数书》的墓中也出土了均输律，比汉武帝早了三个皇帝的时代，那就说明均输法肯定不是汉武帝时候才有的。这是第一个证据。第二个证据是，在武帝之前两代的汉文帝时期的一个墓葬中，发现了两个关于数学的残片。通过对照，发现这两个残片是《九章算术》中第一个问题残存下来的文字。这说明《九章算术》的这个问题是继承以前的东西，它在比汉武帝更早的时代就有了。[19]
再看第三个证据。在西汉宣帝时期的《盐铁论》这部书里，讨论了古今两种均输。其中古之均输实际上跟数学上典型的均输是一致的，今之均输才是汉武帝时期以来的均输。这说明一些现代学者把这古今两种均输混淆了。第四个证据是均输这种考虑多个参数影响的情况下如何进行合理分配的算法，在先秦时期有其需要，这个问题比较讲起来比较复杂，这里就不多说了。总之，均输在比较早的时代就已经出现了，以前的结论被证明是错误的。
刚才所说是典型的均输问题。下面是一则非典型均输问题的材料，它是睡虎地汉简《算术》里的一个算题（图10）：
·重车日行五十里，空车日行七十里。今一日七反，问载、输所相去几（左简）
何里？曰：四里六分里一·术曰：并空、重，以七反乘之，为法。空、重相乘，为实。（右简）
出土这个算题的墓葬大约是在汉文帝末年到汉景帝初年，即公元前157年前后，比汉武帝时期实行均输法要早近50年，表明非典型的均输问题也是早就有的。所以不能把均输这一章内容的产生时代定得太晚，古代的说法认为均输是很早就有的，确实是有道理的。
古代传统的说法，在先秦时期就有盈不足，是“九数”之一，为汉代编成的《九章算术》“盈不足”章的来源。由于传世文献中盈不足方法和算题最早出现在《九章算术》中，所以有的学者认为是汉代才产生的。盈不足方法是什么样子，我们前面已经介绍过了，这里不再多说。我在多年前已经根据汉简《算数书》里面出现的盈不足问题的特点，分析出《九章算术》里的盈不足方法实际上在《算数书》里面得到了应用，因而盈不足方法还要从西汉初年往前推到更早的时代，我结合其他的证据，证明先秦时期就有盈不足方法。[20] 后来在岳麓书院的秦简《数》里面也发现有盈不足的方法，这本身说明盈不足方法不晚于秦代，而《数》中盈不足内容的表述又不是原始的产生形态，那么这种方法的产生就应该更早；而且出土简牍中盈不足问题和方法的表述具有多样性，说明它只有产生得更早才能传播开来、用到不同的场合。所以，这恰好证明了我以前的结论。总的来说，盈不足算法虽然比较复杂，但它还是中国数学早期的成果，至少可以追溯到战国时期。
以上我谈了简牍文献对前人研究结论的检验，说明以前不少结论是错误的。为什么出错，我大体上总结了几点原因：
（1）由怀疑直接滑到否定，过于轻率。我们做科学研究当然可以怀疑，但史料的记录可疑并不代表否定。以前有的学者有一个倾向，觉得这个记录很可疑，就一下子滑到否定了。某个事件不一定有，然后把不一定有就说成没有。虽然有这样的倾向，但也是因人而异。
（2）有人有一种倾向，对相信史料的记载重视证据，而对怀疑和否定古人的记载却轻视证据。有人在怀疑的时候，对证据的确认和推导的逻辑关联的要求不是那么严格。我们确信古人的记载当然需要证据，对怀疑和特别否定古人的记载其实也同样地需要证据。
（3）对于证据的有效性，有的没有有意识地做一个评估的工作。
（4）有时候论证有点不严谨，有点笼统。
我们研究历史，一个重要的依据就是史料。对于史料，一个是要搜集，广泛地搜集，一个是应用。方法主要是讲应用。结合上面关于前人结论出错原因的分析，关于研究方法我自己总结了几点。
第一，对史料的怀疑和审查永远是必要的，从疑古派一直到现在实际上都是如此，史料都是应该审查、需要怀疑的。但是怀疑一个事物同样需要证据和推导，你怀疑一个东西和你相信一个东西，你觉得一个东西是什么样的和你觉得这个东西不是什么样的，同样都需要强调证据和推导，需要把可疑和不存在这两种情况区分开来。
第二，评估证据的有效性，严格审查证据与论点之间的逻辑关系。当确定逻辑关系不强时，要把论点做调整，而不是拐弯抹角地把原来的论点给论证了。
第三，对于同一个问题的不同来源的史料，如果不知道史料之间关系的话，依我个人的私见，如果不违背已经确定的知识，那么你利用这些材料构建一个历史认识时，要让这些材料和平相处，互相之间都能利用起来，这个材料说明这一方面，那个材料说明那一方面，这样来构建出一种对历史的认识。与此相反的方式是让史料之间互相否定，比如一个人用这个材料否定那个材料，另外一个人（有时候是同一个人）用那个材料否定这个材料，结果弄得好像两个材料都没有用，那么有人（有时候是同一个人）就干脆另外提出一个新的解释出来，把很多史料都做原意以外的理解。这样得出的结论不一定就错，但错的可能性会比较大。我觉得让材料协调、和平相处，比让材料互相攻击的方式来做出解释，往往会更有价值一些。
第四，在同等条件下与问题直接相关的史料比间接的史料要优先。研究一个问题，有的材料是直接说明这个问题的，有的材料只是间接说明这个问题的，这二者是有距离的，你利用的时候直接的材料要优先。这是一点。另一点是出自专业人士的意见应比非专业人士的意见优先。比如说对于数学、对于《九章算术》的成书，刘徽是一位专业人士，其他的历史学家比如范晔是非专业的人士。在这样的情况下，刘徽的说法就比一般的历史学家分量要重。
我刚才说这么多的方法，讲如何取舍，是要力图得到一个最有可能成立的结论。就像法官判案的时候，掌握了很多很多的材料，能判断这个人的嫌疑最大，那个人的嫌疑最小，在这种情况下，如果没有铁定材料，只能说明这个人最有可能犯案，但不能说这个人一定犯案，那个人一定不犯案。在历史研究中，往往后来会出现新的证据来检验原有的结论。但在没有新的证据之前，我们可以说能解释最多材料的意见，不一定是最正确的，但它是最有可能是正确的，就是说它正确的可能性最大。
五、简牍对重建战国至汉代数学发展基本脉络的重要价值
最后一个问题，出土简牍对重建战国至汉代数学发展的基本脉络具有重要的价值。中国早期的数学有两种类型的知识，一种我给它取名叫实用算法式的，它跟实际结合得比较紧密，它的形态是算法，具体内容就是各个类型的问题怎么算，会给出一些算法。另外一种是讲数量之间关系还有其他数学对象的相互关系和性质的知识，这是一种理论化的数学知识。这两种知识在战国时期都有，并且互相影响。实用算法式的数学知识一直是主流的，理论化的数学知识是非主流的，属于支流。出土文献有利于加深我们对主流的认识，现在的出土材料主要是前一个类型。
关于中国早期的数学，以前最早的著作只有《九章算术》和《周髀算经》。大家都承认它们吸收了更早时期的一些东西，但它们的时代是西汉，就是说直到西汉时期才编成现在的样子，所以要讨论更早时期的数学是什么样子，只能根据别的证据返推，但是这样推起来比较费劲，而且也不太能令人信服。
出土材料为重建早期的数学史提供了有利的条件和依据。它首先的一个好处是时代下限大都很确定，看它从什么墓中发掘，就可以确定它的时代下限。比方某些具体问题和算法见于出土材料，便可以确定它们被创造的时间下限。出土材料的另外一个好处是，它有时会含有一些具体的信息，能跟别的材料结合起来，进行各方面的对照，充分发掘它们各自所蕴含的信息，进行推导，可以得出创作某些具体问题和算法的更准确或更合理的时间范围。
综合考虑多方面的因素，就可以建立一个关于早期实用算法式数学发展的大致脉络。这里面有的环节还得不到证明，但有些是能证明的。我根据刘徽的记载和其他材料，把大致的发展脉络梳理了一下。我认为实用算法式数学文献可分为经典和非经典两个系统。
春秋战国时期，在西周“九数”的基础上，形成了基于分数的各种算法。刘徽说周公制定礼乐制度时有“九数”。在流传到现代的《周礼》里面记载了六艺，数是六艺里面最后的一项，就叫做“九数”。据东汉早期经学家郑众的注释，“九数”有九个科目，跟《九章算术》的章名只有很细微的区别。刘徽说《九章算术》是从“九数”发展来的，而原本的《九章算术》在先秦时期就已经存在，由于秦始皇焚书而被损坏，后经过汉代的人整理加工，形成了他所看到的《九章算术》。从前面的一些讨论看，刘徽的说法并非空穴来风。
根据他的描述和各方面的材料，可以这样看待经典系统：春秋时期，在西周“九数”的基础之上，形成了基于分数的各种算法，包括了郑众所列的“九数”中的主要的数学门类，并且有可能存在着一本变化着的《九章算术》，这本书的规模大致与我们现在所看到的《九章算术》差不多，是一本经典的数学著作。这本书由于秦始皇的焚书和秦末的战火遭到了损坏，经过汉代的张苍、耿寿昌进行抢救、增补和删间，并加以整理，最后形成了现在所看到的《九章算术》。这本书的成书时代就是耿寿昌活动的时代，在公元前50年前后。这就是从“九数”到《九章算术》的发展脉络，我们可以称为经典系统。它的流变可以简单地表示为：原始的“九数”——发展中的“九数”——原始的《九章》——发展中的《九章》——受损的《九章》——修订中的《九章》——现传西汉后期编成的《九章》。
与经典系统相对，就有非经典的实用算法式数学文献。它们受经典文献系统直接或间接影响而形成，《算数书》、《数》及其所取材的数学著作，北京大学秦简中至少一部分算书，居延汉简中的数学文献等，可归入此类。此类文献数量巨大，因时、因地、因事、因兴趣而编作，借鉴、增删、组合不定，随意性较强，传承网络复杂，比经典系统更难概述其间的关系（当然不是没有关系）。非经典系统的文献有的偏重于专业、有的偏重于应用，有的则兼而有之。经典和非经典的两类文献都处在变化中，它们互相影响，而以前者影响后者居多。
六、结语
总的说来，出土简牍对于中国早期数学的研究具有独特的意义和价值。由于出土材料大多有着明确的时间下限，这就为我们从历时性的方面考察问题提供了具体的、基本而有力的证据。
早期数学知识的大量实例，不仅能够准确地反映当时数学知识的面貌，而且可以检验以前根据有限的信息从不同的思路出发推导出来的各种数学史的结论，并进而让我们反思以前运用史料的方法。在这样的基础上进行探索和深化，可以使我们对中国早期数学史的重建工作做得不仅更加具体而且更加坚实。这个方面虽然已经取得了一些进展，但是还有很多工作要做。特别值得注意的是在非数学类的其他简牍文献里面有很多有用的信息，虽然我们以前也对此已经做了一些工作，但它们还没有得到充分的发掘和利用，所以这一方面的研究还有较大的施展空间，是有志于简牍与数学史研究的人值得去做的一个领域。非数学类的文献和数学文献的有机结合，不仅可以弥补某些方面缺乏数学文献的不足，还可以立体地认识数学和社会诸多方面的关系，这往往会收到一些意想不到的效果。
现在已知的与数学有关的简牍文献，我们刚才讲了很多，好像内容多得不得了，可以把很多问题都解决了，但其实也有很多的局限。它们的局限在哪？对于全面了解战国至汉代的数学发展来说，目前的简牍数学文献的数量其实还很有限，特别是涉及的时间跨度还不够长。战国时期简牍，现在虽然有清华简中的一个算表，但毕竟数量太少。简牍数学文献主要集中在秦始皇末年到西汉中期特别是早期，东汉的材料很少，西汉后期的材料也很少，所以出土有较多数学简牍的时间跨度是比较短的。特别是遗憾的是，至今还没有发现明确属于先秦时期的整部数学著作，所以研究先秦时期的数学以及数学在上古时期的演化，还是需要用以前所用的返推方法，这个方法还是处在一个重要的地位。
另外，出土文献所涉及的数学知识的范围，尤其是类别的范围还很有限，所以我们也不能对出土材料抱过高的期望。特别是关于数学理论这个重要的方面，出土材料还特别少，这是目前简牍材料一个很大的缺陷。所以我们在做研究的时候，还是要注意到目前简牍材料的一些缺陷，不能过分夸大它的价值。
我今天就讲这些，谢谢各位！
[1] 王国维：“最近二三十年中中国新发见之学问”，傅杰编校《王国维论学集》，北京：中国社会科学出版社，1997年，第207-211页。
[2] 李俨：《中国算学史》，上海：商务印书馆，1937年，第5-9页。
[3] 张家山二四七号汉墓竹简整理小组编著：《张家山汉墓竹简[二四七号墓]》，北京：文物出版社，2001年，前言。
[4] 陈松长：“岳麓书院所藏秦简综述”，《文物》，2009年第3期，第75-88页。朱汉民、陈松长主编：《岳麓书院藏秦简（贰）》，上海辞书出版社，2011年，前言。
[5] 朱凤瀚：“北京大学藏秦简牍概述”，《文物》，2012年第6期，第65-73页。
[6] 2023年8月按语：此项材料已开新书发布会，当在近日可以面市。
[7] 湖北省文物考古研究所、云梦县博物馆：“湖北云梦睡虎地M77发掘报告”，《江汉考古》，2008年11月第4期，第31-37页，彩版一一至一六。
[8] 2023年8月按语：此项材料目前已于《文物》上公布约一半的内容。
[9] 胡平生：“阜阳双古堆数术书简论”，《出土文献研究》第4辑，北京：中华书局，1998年，第12-30页。
[10] 整理按语：此项材料已发表于李学勤：《清华大学藏战国竹简（肆）》下册，上海：中西书局，2013年。
[11] 朱汉民、陈松长主编：《岳麓书院藏秦简（贰）》，上海：上海辞书出版社，2011年，第67页。
[12] 梁宗巨：《世界数学史简编》，沈阳：辽宁教育出版社，1982年，第331-332页；程贞一、席泽宗：“陈子模型和早期对于太阳的测量”，收入《古新星新表与科学史探索 席泽宗院士自选集》，西安：陕西师范大学出版社，2002年，第426-435页。
[13] 邹大海：“从出土简牍文献看中国早期的正负数概念”，《考古学报》，2010年第4期第481-504页。
[14] 邹大海：“从出土文献看上古医事制度与正负数概念”，《中国历史文物》，2010年第5期第69-76页。
[15] 韩巍：“北大秦简中的数学文献”，《文物》，2012年第6期，第85-89页。整理按语：这段对话已于2015年全部公布，见韩巍：“北大藏秦简《鲁久次问数于陈起》初读”，《北京大学学报（哲学社会科学版）》，2015年第2期，第29-36页。
[16] 邹大海：“关于《算数书》、秦律和上古粮米计量单位的几个问题”（《内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）》，第38卷第5期，2009年9月，第508-515页；邹大海：“从出土文献看秦汉计量单位石的变迁”，2012年8月26 -31日在日本京都大学数理解析研究所“2012 RIMS研究集会 「数学史の研究」”报告，后刊于RIMS Kôkyûroku Bessatsu B50: Study of the History of Mathematics, August 27-30, 2012, Research Institute for the Mathematical Sciences, Kyoto University, June, 2014, pp.137-156.
[17] 这段原文在原简上有讹误，此为校勘后的文本，见邹大海：“关于《算数书》、秦律和上古粮米计量单位的几个问题”，《内蒙古师范大学学报》（自然科学汉文版），2009年第38卷第5期，第508-515页。
[18] 2023年8月新按：笔者新的研究表明，“均输”的含义和“均输”章的构成很复杂，用典型的均输问题和非典型的均输问题来划分该章的内容是不妥当的，前4题应该用多指标下的公平负担问题来指称。见邹大海：“中国上古时代数学门类均输新探”，《自然科学史研究》，2020年第39卷第4期，第395-424页。
[19] 胡平生：“阜阳双古堆数术书简论”，《出土文献研究》第4辑，北京：中华书局，1998年，第12-30页。
[20] 邹大海：“从《算数书》盈不足问题看上古时代的盈不足方法”，《自然科学史研究》2007年第26卷第3期，第312-323页。
附 主要参考文献
1.李俨：《中国算学史》，上海：商务印书馆，1937年版，1955年修订版。
2.钱宝琮主编：《中国数学史》，北京：科学出版社，1981年。
3.邹大海：《中国数学的兴起与先秦数学》，石家庄：河北科学技术出版社，2001年。
4.王国维：“最近二三十年中中国新发见之学问”，傅杰编校《王国维论学集》，北京：中国社会科学出版社，1997年，第207-211页。
5.严敦杰：“居延汉简算书”，《真理杂志》，1944年第1卷第3期，第315-319页。
6.张家山二四七号汉墓竹简整理小组编著：《张家山汉墓竹简[二四七号墓]》，北京：文物出版社，2001年。
7.彭浩著：《张家山汉简〈算数书〉注释》，北京：科学出版社，2001年。
8.肖灿：《岳麓书院藏秦简〈数〉研究》，湖南大学博士论文，2010年12月通过答辩。2015年由中国社会科学出版社正式出版。
9.朱汉民、陈松长主编：《岳麓书院藏秦简（贰）》，上海辞书出版社，2011年。
10.朱凤瀚：“北京大学藏秦简牍概述”，《文物》，2012年第6期，第65-73页。
11.韩巍：“北大秦简中的数学文献”，《文物》，2012年第6期，第85-89页。
12.陈松长：《香港中文大学文物馆藏简牍》，香港中文大学文物馆，2001年。
13.彭浩.中国最早的数学著作《算数书》.文物，2000（9），第85-90页.
14.邹大海：“出土《算数书》初探”，《自然科学史研究》，2001年第20卷第3期，第193-205页。
15.邹大海：“从《算数书》和秦简看上古粮米的比率”，《自然科学史研究》，2003年第4期，第318-328页。
16.郭书春：“试论《筭数书》的数学表达方式”，《中国历史文物》，2003年第3期，第28-38页。
17.邹大海：“从《算数书》〉与《九章算术》的关系看算法式数学文献在上古时代的流传”，《赣南师范学院学报》2004年第6期，第6-10页。
18.邹大海：“从先秦文献和《算数书》看出入相补原理的早期应用，《中国文化研究》，2004年冬之卷，第52-60页。
19.邹大海：“睡虎地秦简与先秦数学”，《考古》，2005年第6期，第57-65页。
20.邹大海：“从《算数书》盈不足问题看上古时代的盈不足方法”，《自然科学史研究》2007年第26卷第3期，第312-323页。
21.梁宗巨：《世界数学史简编》，沈阳：辽宁教育出版社，1982年。
22.程贞一、席泽宗：“陈子模型和早期对于太阳的测量”，收入《古新星新表与科学史探索 席泽宗院士自选集》，西安：陕西师范大学出版社，2002年，第426-435页。
23. 邹大海：“出土简牍与中国早期数学史”，《人文与社会学报》，2008年，第2卷第2期，第71-98页。
24.邹大海：“关于《算数书》、秦律和上古粮米计量单位的几个问题”，《内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）》，2009年第38卷第5期，第508-515页。
25.陈松长：“岳麓书院所藏秦简综述”，《文物》，2009年第3期，第75-88页。
26.邹大海：“从出土竹简看中国早期委输算题及其社会背景”，《湖南大学学报（社会科学版）》，2010年第24卷第4期，第5-10页。
27.邹大海：“从《墨子》看先秦时期的几何知识”，《自然科学史研究》，2010年第29卷第3期，第293-312页。
28. 邹大海：“从出土文献看上古医事制度与正负数概念”，《中国历史文物》2010年第5期，第69-76页。
29.邹大海：“从出土简牍文献看中国早期的正负数概念，《考古学报》，2010年第4期，第481-504页。
30.肖灿、朱汉民：“勾股新证——岳麓书院藏秦简《数》的相关研究”，《自然科学史研究》，2010年第29卷第3期，第313-318页。
31.胡平生：“阜阳双古堆数术书简论”，《出土文献研究》第4辑，北京：中华书局，1998年，第12-30页。
31.邹大海：“从出土文献看秦汉计量单位石的变迁”，2012年8月26 -31日在日本京都大学数理解析研究所“2012 RIMS研究集会 「数学史の研究」”报告。后刊于RIMS Kôkyûroku Bessatsu B500: Study of the History of Mathematics, August 27-30, 2012, Research Institute for the Mathematical Sciences, Kyoto University, June, 2014, pp.137-156.
本文根据2013年5月19日下午在国家图书馆北海分馆“中国典籍与文化系列讲座”公众报告整理而成，原刊于国家图书馆古籍馆、《中国典籍与文化》编辑部编：《中国典籍与文化》第十二辑，北京：国家图书馆出版社，2019年，第117-147页。
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编辑：李佳遥
审核：蒋明玉
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