映射与函数

1.映射

为非空集合，如果存在法则，对中每个元素,中有唯一元素与之对应，则称为从到的映射,
记作，
称为的像，并记作，即，称为的原像。
为定义域，记作，为值域，记作或，即
。

概念	定义
单射	, 如果, 则
满射	，即至少存在一个与对应。
双射	既是单射，又是满射，则称为一一映射(双射)。

注：：代表任意，：代表存在

如下图：

2.逆映射

设为单射，可定义新映射，
，对每个，规定，这满足。
则称的逆映射，记作
其定义域，值域
如下图：

3.复合映射

设有2个映射
，，
定义一个从到的对应法则，它将每个映成。称该映射为和构成的复合映射，记作，即

如下图：

4.函数

设数集，则称映射为定义在上的函数，简记为，
分别称为自变量，因变量，定义域。
函数值全体所构成集合称为函数的值域，记作或，即

5.常见函数

绝对值函数：图5-1

符号函数：图5-2

取整函数：图5-3

如下图（常见函数）：

6.函数特性

6.1有界性

设函数的定义域为D，数集。

• 如果存在数，使得对，成立，
  则称函数在上有上界；
• 如果存在数，使得对，成立，
  则称函数在上有下界；
• 如果存在数，使得对，成立，
  则称函数在上有界。

6.2单调性

设函数的定义域为，区间。

• 如果对区间中，当时，恒有,
  则称在区间上单调增加（图6-1）。
• 如果对区间中，当时，恒有,
  则称在区间上单调减少（图6-2）。

6.3奇偶性

设函数的定义域关于原点对称。

• 如果对，
  恒成立，称为偶函数（图6-3）。
• 如果对，
  恒成立，称为奇函数（图6-4）。

6.4周期性

设函数的定义域为。如果存在一正数，使得对有，  且
恒成立，称为周期函数，称为的周期（图6-5）。