为什么说微积分是上帝的语言？
撰文 | 史蒂夫·斯托加茨（美国康奈尔大学应用数学系教授）
选自《微积分的力量》
没有微积分，我们就不会拥有手机、计算机和微波炉，也不会拥有收音机、电视、为孕妇做的超声检查，以及为迷路的旅行者导航的GPS（全球定位系统）。我们更无法分裂原子、破解人类基因组或者将宇航员送上月球，甚至有可能无缘于《独立宣言》。
有一种罕见而有趣的历史观点认为，世界被一个神秘的数学分支彻底改变了。一个最初与形状相关的理论，最终又如何重塑了文明？
我们可以从物理学家理查德·费曼的一句妙语中洞见这个问题的答案，这句话是他在与小说家赫尔曼·沃克讨论曼哈顿计划时说的。
当时沃克正在为他计划写作的一部关于“二战”的长篇小说做调研，他去加州理工学院采访了参与过原子弹研发的物理学家，费曼就是其中之一。
采访结束临别之际，费曼问沃克是否了解微积分。沃克坦承他并不了解， 于是费曼说道：“你最好学学微积分，它是上帝的语言。”
宇宙是高度数学化的，但原因尚无人知晓。这或许是包含我们在内的宇宙的唯一可行的存在方式，因为非数学化的宇宙无法庇护能够提出这个问题的智慧生命。
无论如何，一个神秘且不可思议的事实是，我们的宇宙遵循的自然律最终总能用微积分的语言和微分方程的形式表达出来。这类方程能描述某个事物在这一刻和在下一刻之间的差异，或者某个事物在这一点和在与该点无限接近的下一个点之间的差异。
尽管细节会随着我们探讨的具体内容而有所不同，但自然律的结构总是相同的。这个令人惊叹的说法也可以表述为，似乎存在着某种类似宇宙密码的东西，即一个能让万物时时处处不断变化的操作系统。
微积分利用了这种规则，并将其表述出来。
艾萨克·牛顿是最早瞥见这一宇宙奥秘的人。他发现行星的轨道、潮汐的韵律和炮弹的弹道都可以用一组微分方程来描述、解释和预测。如今，我们把这些方程称为牛顿运动定律和万有引力定律。
自牛顿以来， 每当有新的宇宙奥秘被揭开，我们就会发现同样的模式一直有效。从古老的土、空气、火和水元素到新近的电子、夸克、黑洞和超弦，宇宙中所有无生命的东西都遵从微分方程的规则。我敢打赌，这就是费曼说“微积分是上帝的语言”时想要表达的意思。
如果有什么东西称得上宇宙的奥秘，那么非微积分莫属。
图片来自Caltech Archives
人类在不经意间发现了这种奇怪的语言（先是在几何学的隐秘角落里，后来是在宇宙密码中），然后学会熟练地运用它，并破译了它的习语和微妙之处，最终利用它的预测能力去重构世界。
这是本书的中心论点。
如果这个论点是正确的，那么它意味着关于生命、宇宙和万物的终极问题的答案并不是42，为此我要向道格拉斯·亚当斯和《银河系漫游指南》的粉丝致歉。但“深思”（《银河系漫游指南》中的一台超级计算机）的解题思路是正确的，因为宇宙的奥秘确实是一系列数学问题。
写给每个人的微积分读物
费曼的那句妙语“微积分是上帝的语言”，引出了许多深奥的问题。
什么是微积分？人类如何断定它是上帝的语言（或者说，宇宙基于这种语言在运转）？
什么是微分方程？在牛顿的时代和我们的时代，微分方程为世界带来了什么？
最后，这些故事和观点如何能被有趣且清楚易懂地传达给像赫尔曼·沃克那样的友善读者呢，他们勤于思考、充满好奇心、知识渊博但几乎没有学过高等数学？
沃克在他与费曼邂逅故事的结尾部分写道，他在14年里始终没有抽出时间学习微积分。他的关于“二战”的长篇小说从原计划的一部变成了两部——《战争风云》和《战争与回忆》，每部都长达1000页左右。
在完成这两部小说后，他试图通过阅读像《微积分一点通》这样的书自学微积分，但效果并不好。他翻阅了几本教科书，用他自己的话说，就是希望“遇到一本合适的书，它可以帮助像我这样对数学几乎一窍不通的人。
我在青少年时期产生了探寻存在之意义的渴求，大学期间就只学习了文学与哲学等人文学科，所以我并不知道别人口中艰涩、无趣、毫无用处的微积分竟然是上帝的语言”。
在发现自己看不懂教科书之后，他聘请了一位以色列的数学家教，希望能跟着他学点儿微积分，顺便提升一下希伯来语口语水平，但这两个愿望都落空了。最后，绝望的他旁听了高中的微积分课程，但因为进度落后太多，几个月后他不得不放弃。
在他走出教室时，孩子们一起为他鼓掌，他说这就像对一场可怜的表演报以同情的掌声。
我之所以写作本书，就是为了让每个人都能了解关于微积分的最精彩的思想和故事。我们没必要采用赫尔曼·沃克的方法去学习人类历史上这个具有里程碑意义的学科，尽管微积分是人类最具启迪性的集体成就之一。
我们不必为了理解微积分的重要性而学习如何做运算，就像我们不必为了享用美食而学习如何做佳肴一样。我将借助图片、隐喻和趣闻逸事等，尝试解释我们需要了解的一切。
我也会给你们介绍有史以来最精致的一些方程和证明，就像我们在参观画廊的时候不会错过其中的代表作一样。至于赫尔曼·沃克，在我写作本书的时候，他已经103岁了。我不知道他有没有学会微积分，如果还没有，这本书就很适合沃克先生。
由微积分主宰的世界
现在你应该很清楚，我将从应用数学家的角度讲述微积分的故事和重要性。而数学史家则会选择不同的角度，纯粹数学家亦然。
作为一名应用数学家，真正吸引我的是我们周围的现实世界和我们头脑中的理想世界之间的相互作用。外界的现象引导着我们提出数学问题；反过来， 我们的数学想象有时也会预言现实世界中的事情。当这一切真正发生时， 将会产生不可思议的效果。
要想成为一位应用数学家，既要有外向型思维，又要有广博的知识。对我们这个领域的人来说，数学并不是一个由自我附和的定理和证明构成的原始、封闭的世界。我们会欣然接受各种各样的学科：哲学，政治学，科学，历史，医学，等等。
所以，我想给大家讲述的故事是：由微积分主宰的世界。
这是一种比以往更宽泛的微积分观，包含了数学和相邻学科中的许多分支，它们要么是微积分的“表兄弟”，要么是微积分的“副产品”。
因为这种“大帐篷”观是非常规的，所以我要确保它不会造成任何混淆。比如，我在前文中说过，如果没有微积分，我们就不会拥有电脑和手机等，我的意思当然不是说微积分本身创造了所有这些奇迹。事实远非如此，科学和技术是必不可少的搭档，或者可以说是这出大戏的主角。
我只想说，尽管微积分往往扮演的是配角，但也为塑造我们今天的世界做出了重要贡献。
以无线通信的发展史为例。它开始于迈克尔·法拉第和安德烈·玛丽·安培等科学家发现的电磁定律，如果没有他们的观察和反复修正， 那些关于磁体、电流及其不可见力场的重要事实将仍不为人所知，无线通信的可能性也永远无法实现。
所以，实验物理学在这里显然起到了不可或缺的作用。
但是，微积分同样很重要。
19世纪60年代，一位名叫詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的苏格兰数学物理学家，将电磁场的基本实验定律改写为一种可进行微积分运算的符号形式。
经过一番变换，他得到了一个毫无意义的方程，显然有某种东西缺失了。麦克斯韦怀疑安培定律是罪魁祸首，并尝试修正它，于是他在自己的方程中加入了一个新项——可以化解矛盾的假想电流，然后又利用微积分做了一番运算。这次他得到了一个合理的结果——一个简洁的波动方程，它与描述池塘中涟漪扩散的方程很像。
只不过麦克斯韦方程还预言了一种新波的存在，这种波是由相互作用的电场和磁场产生的。
一个变化的电场会产生一个变化的磁场，一个变化的磁场又会产生一个变化的电场，以此类推，每个场都会引导另一个场向前运动，一起以行波的形式向外传递能量。当麦克斯韦计算这种波的速度时，他发现它是以光速运动的，这绝对是历史上最令人惊喜的时刻之一。
因此，他不仅利用微积分预测出电磁波的存在，还解开了一个古老的谜题：光的性质是什么？他意识到，光就是一种电磁波。
麦克斯韦的电磁波预测促使海因里希·赫兹在1887年做了一项实验， 从而证明了电磁波的存在。10年后，尼古拉·特斯拉建造了第一个无线电通信系统；又过了5年，伽利尔摩·马可尼发送了第一份跨越大西洋的无线电报。接下来，电视、手机和其他设备也陆续出现了。
显然，微积分不可能独立做到这一切。但同样显而易见的是，如果没有微积分，这一切就不会发生。或者更准确地说，即时有可能，也要很久之后才会实现。
微积分不只是一种语言
麦克斯韦的故事展现了一个我们将会反复看到的主题。人们常说数学是科学的语言，这是非常有道理的。在电磁波的例子中，对麦克斯韦而言，将他在实验中发现的定律转化为用微积分语言表述的方程，这是至关重要的第一步。
但是，用语言来类比微积分的做法并不全面。微积分和其他数学形式一样，不仅是一种语言，还是一个非常强大的推理系统。依据某些规则进行各种符号运算，微积分可以帮助我们实现方程之间的转换。
这些规则有扎实的逻辑根基，尽管看上去我们只是在随机变换符号的位置， 但实际上我们是在构建逻辑推理的长链。随机变换符号的位置是有效的简化手段，也是构建人脑无法处理的复杂论证过程的简便方式。
如果我们足够幸运和娴熟，能以正确的方式进行方程变换，就可以揭示这些方程的隐藏含义。对数学家来说，这个过程几乎是易于察觉的， 就好像我们在操控着方程，给它们做按摩，竭力让它们放松下来，最后洞悉它们的秘密。我们希望它们能敞开心扉，跟我们交谈。
这个过程离不开创造力，因为我们通常不清楚应该进行哪些操作。在麦克斯韦的例子中，他可以选择的方程变换方式有无数种，尽管所有方式都合乎逻辑，但其中只有一部分能揭示出科学真相。
因为麦克斯韦根本不知道自己要寻找什么，除了毫无逻辑的语言（或者符号）之外， 他从方程中很可能什么结果也得不到。但幸运的是，这些方程的确含有待揭示的秘密。
在适当的刺激下，它们“吐露出”波动方程。
此时，微积分的语言功能再次掌控了主导权。
当麦克斯韦将他的抽象符号转换回现实时，它们做出了预测：作为一种不可见的行波，电和磁能一起以光速传播。
在接下来的几十年里，这一发现改变了世界。
不合理的有效性
微积分竟然能如此出色地模拟大自然，这实在是太奇怪了，毕竟它们属于两个不同的领域。
微积分是一个由符号和逻辑构成的想象领域， 大自然则是一个由力和现象构成的现实领域。
但不知为何，如果从现实到符号的转换足够巧妙，微积分的逻辑就可以利用现实世界的一个真理生成另一个真理，即输入一个真理，然后输出另一个真理。
我们先要有一个被经验证明为真和用符号表述（就像麦克斯韦对电磁定律的改写一样）的真理，然后进行正确的逻辑操作，最后得出另一个经验真理，这个真理有可能是新的，是从没有人知道的关于宇宙的事实（比如电磁波的存在）。
就这样，微积分让我们放眼未来，预测未知。正因为如此，它成了强大的科技工具。
但是，为什么宇宙要遵循各种逻辑，甚至包括渺小的人类也能发现的那种逻辑呢？当爱因斯坦写下“世界的永恒之谜在于它的可理解性” 时，让他惊叹不已的正是这个问题；当尤金·维格纳在论文《论数学在自然科学中的不合理的有效性》（点击蓝字阅读）中写下“数学语言在表述物理定律方面的适当性是一个奇迹，是一份我们既不理解也不配拥有的奇妙礼物”时， 他想要表达的也是这个意思。
这种敬畏感可追溯至数学形成时期。相传公元前550年左右，当毕达哥拉斯及其信徒发现音乐由整数比支配时，他就产生了这种感觉。
想象一下，你在弹拨一根吉他弦，当弦振动时，它会发出某个音调。现在，把你的手指放在恰好位于弦中间的品格上，再拨一次弦。
这时弦的振动部分只有最初长度的一半，即1/2，而它发出的音调恰好比最初的音调高八度（指在do-re-mi-fa-sol-la-ti-do的音阶中，从一个do到下一个do的音程）。
如果弦的振动部分是最初长度的2/3，那么它发出的音调会比最初的音调高五度（从do到sol的音程，比如《星球大战》主题曲的前两个音调）。
如果弦的振动部分是最初长度的3/4，那么它发出的音调会比最初的音调高四度（《婚礼进行曲》的前两个音调之间的音程）。
古希腊音乐家了解八度、四度和五度的旋律概念，并且认为它们很美妙。音乐（现实世界的和谐）与数字（想象世界的和谐）之间的这种出人意料的联系，引领毕达哥拉斯学派形成了“万物皆数”的神秘信念。据说他们始终认为，即使是在轨道上运行的行星也会演奏音乐——天体之音。
此后，历史上许多伟大的数学家和科学家都染上了“毕达哥拉斯热”。天文学家约翰尼斯·开普勒尤为严重，物理学家保罗·狄拉克亦然。我们将会看到，“万物皆数”的信念驱使他们去探寻、想象和追求宇宙的和谐，并最终推动他们取得了改变世界的发现。
无穷原则
为了帮助你理解我们讨论的方向，我先说一下什么是微积分，它想要什么，以及它与其他数学学科的区别。
幸运的是，有一个宏大而美丽的理念将贯穿这个话题的始终。一旦我们了解了这个理念，微积分的结构就可以被看作统一主题之下的变体。
遗憾的是，大多数微积分课程都将这个主题埋藏在大量的公式、步骤和计算技巧之中。仔细想来，尽管它是微积分文化的一部分，而且几乎每位专家都知道它，但我从未见过它在哪里被阐明。
我们不妨把它叫作“无穷原则”，无论是在概念上还是历史上，它都会像引导微积分本身的发展那样指引我们的讨论过程。
虽然此时此刻它听起来好像胡言乱语， 但通过我们一步步地探索微积分想要什么及其如何实现所想，理解无穷原则将变得越来越容易。
简言之，微积分就是想让复杂的难题简单化，它十分痴迷于简单性。
这可能会让你感到惊讶，因为微积分向来以复杂性著称。而且，不可否认的是，一些权威的微积分教科书的篇幅都超过1000页，重得像砖头一样。但是，我们不要急着做判断或下结论。
微积分无法改变自己的样子，它的庞大笨重是不可避免的。它看起来复杂，是因为它要设法解决复杂的问题。事实上，它已经处理和解决了人类有史以来面临的一些最困难和最重要的问题。
微积分成功的方法是，把复杂的问题分解成多个更简单的部分。
当然，这种策略并不是微积分独有的。所有善于解决问题的人都知道，当难题被分解后，就会变得更容易解决。
微积分真正不同凡响和标新立异的做法在于，它把这种分而治之的策略发挥到了极致，也就是无穷的程度。它不是把一个大问题切分成有限的几小块，而是无休无止地切分下去，直到这个问题被切分成无穷多个最微小并且可以想象的部分。
之后， 它会逐一解决所有微小的问题，这些问题通常要比那个庞大的原始问题更容易解决。此时剩下的挑战就是把所有微小问题的答案重新组合起来， 这一步的难度往往会大一些，但至少不会像原始问题那么难。
因此，微积分可分为两个步骤：切分和重组。
用数学术语来说，切分过程总是涉及无限精细的减法运算，用于量化各部分之间的差异，这个部分叫作微分学。重组过程则总是涉及无限的加法运算，将各个部分整合成原来的整体，这个部分叫作积分学。
这种策略可用于我们能够想象的做无尽切分的所有事物，这类事物被称作连续体，据说它们是连续的。
比如，正圆的边缘，悬索桥上的钢梁，餐桌上逐渐冷却的一碗汤，飞行中标枪的抛物线轨迹，或者你活着的时光。
形状、物体、液体、运动和时间间隔等都是微积分的应用对象， 它们全部或者几乎都是连续的。
请注意这个创造性假设背后的真相。汤和钢铁实际上并不连续，尽管在日常生活的尺度上它们看起来是连续的，但在原子或超弦尺度上并非如此。
微积分忽略了原子和其他不可切分实体造成的不便，这不是因为它们不存在，而是因为假装它们不存在会大有帮助。正如我们将在后文中看到的那样，微积分偏好有用的虚构。
更广泛地说，被微积分建模为连续体的实体类型，包含了我们能想到的几乎所有东西。微积分可以描述球如何不间断地滚下斜坡，光束如何在水中连续地传播，蜂鸟的翅膀或飞机机翼周围的连续气流如何使它们在空中飞行，以及患者开始采取药物联合疗法后，他血液中的HIV（人体免疫缺陷病毒）颗粒浓度在接下来的日子里如何持续下降。
在每种情况下，微积分采取的策略都一样：先把一个复杂而连续的问题切分成无穷多个简单的部分，然后分别求解，最后把结果组合在一起。
现在，我们终于可以阐明这个伟大的理念了。
—— The End ——
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