爱教材 | 赏月的你看到了月圆背后的微分方程吗？

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导语

“今夜月明人尽望，不知秋思落谁家”，当你在红叶之下饮酒赏月时又可曾想过，为什么每逢中秋时节，月盈为满，清辉凝落？而为什么农历每月初一“半痕新月，斜挂在西天角上，却似仙女的蛾眉”？这些都可以归结为一个天体绕着另一个天体的运动，在运动中又受各种因素影响的摄动问题。其中最简单的情形可以被Cowell方法求解，它的核心便是如下的微分方程：

微分方程？你也许已经苦笑着回忆起了常微分方程的期末试题和数学物理方法课上昏昏大睡的舍友；又或是微微一笑，表示已经了然于胸，分离变量法积分因子法各类方程的适定性脱口而出，甚至各类动力系统非线性椭圆方程索伯列夫空间也不在话下；也可能对这从未听闻的概念表示好奇，但殊不知它已是你中学时期的老朋友。

当你在高中的课堂上刚刚踏上微积分巨塔的第一个台阶时，就一定遇到过下面这种题目：f(x)的导数恒为1，f(0)=0，那么f(x)是什么？相信正在读这篇文章的你一定能脱口而出，而一定也有人朦胧地回忆起了自己高中时遇到过的类似题目。没错，这本质上也是一个微分方程。

通俗地说，微分方程就是含有需要求解函数导数的方程，它不止存在于数学家的纸上、经济学家与计算机学家的电脑中、化学家和物理学家的实验室里，还存在于我们生活的方方面面：随手拿一根橡皮筋，轻轻一拨，就得到了波动方程；泡一杯热茶，等它慢慢变凉，热传导方程已经随之而来。看吧，微分方程不是高塔上的明珠，而已经与你我相伴数年。

而这位老朋友，如今穿着新衣服约你见面——James R. Brannan教授从全新的视点解读微分方程，为无论是工科生还是理科生的你，带来新的体验！

书

目

介

绍

Differential Equations: An Introduction to Modern Methods and Applications 3rd Edition

微分方程：现代方法与应用介绍 第3版

作者：James R. Brannan

出版社：Wiley

出版年：2015

ISBN：9781118531778

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作者简介

本书的作者是James R. Brannan，美国克莱姆森大学数学科学系教授，华中科技大学数学中心合作教授，研究方向为数学模型，随机微分方程，扩散过程，扰动方法以及数理经济学，同时还是美国工业与应用数学学会与世界计量经济学会的会员。他于1973年从犹他州立大学的数学专业毕业，而在此之前他曾在美军陆战队的雷达技术部门工作过4年。Brannan 于1979年在伦斯勒理工学院获得博士学位后，同年进入克莱姆森大学数学科学系任教至今。

推荐理由与书籍简介

在我短暂的四年大学生活中，曾经有不少来自物理学、化学、土木工程等专业的同学向我咨询微分方程的问题。而我一方面查着自己可以称得上鸿篇巨作的复习提纲，一方面却只能苦笑着说找不到解法。事实就是如此，微分方程，这一几乎是从实际问题诞生的学科，却在今天的大学课程中变为了相当理论化的学科。学生们能解决书后与期末考试中的习题，却对实际问题束手无策。一定也有不少高校教师与科研人员意识到了这一点，James R. Brannan就是其中一位。这位曾在陆战队雷达技术部门工作过4年，却最终成为数学科学系教授的老爷爷试图去从实际与应用的角度去介绍微分方程，让每一个读者知道，并不是学会了复杂的公式，遇到问题时再去翻找课本，而是我需要去解决一个电路问题，那么我再去学习拉普拉斯变换；我想要为一个生物环境中各个物种竞争觅食的情况建模，则需要掌握非线性微分方程的知识。

本书主要为工学本科生而准备，数学本科生也可以作为参考资料，当然对于没学过微积分的同学来说还是太早了。另一方面本书几乎不需要任何线性代数基础，即使你线性代数不及格也没有关系！与一般的微分方程教材不同，本书旨在依照工程师和科学家们在实际场景中的经验，来提供微分方程系统性的求解方法，并着重介绍了一些微分方程的现代求解技巧与工业中的应用。同时，本书每章大量的习题不单纯限于纸笔上的求解，而同时会培养你建模、分析与计算机编程的能力，让你在不远的将来踏上工作岗位时从身边的人中脱颖而出。此外，本书每章结尾附有一个专题，这些专题看起来仅仅是补充和选读章节，但其却真真切切地体现了Brannan想要将微分方程应用于实际的渴望，也许这位教授在求学之时，也有被他人实际问题所困的经历。这些专题来自于科学研究和实际生活的方方面面，对于读者理解微分方程的实际应用帮助很大，既能当作科普性的文章，也能当做一个小的研究课题。

本书在第一章导论中介绍了有关微分方程的一些基础概念，最基础的定义自不用说，线素场与积分曲线、方程的分类与对前沿的介绍应有尽有。在第二至六章，本书由浅入深地阐述了微分方程的理论基础与应用，由最简单的一阶常微分方程入手，直至高阶的微分方程组，循循善诱，娓娓道来。同时也对方程背后所涉及的物理学或工程学背景加以解释，让你解方程时明白，不是为了期末考试的高分，而是为实际问题而解。自然地，本书采取了由线性到非线性的顺序，在这部分着重介绍线性方程理论与相应的求解方法，其中第五章的拉普拉斯变换是现代工业数学中重要的工具，在各种工业与科学场景中有着广泛应用。本章详细介绍了拉普拉斯变换的定义、性质、逆变换，并教给大家如何通过拉普拉斯变换来解微分方程，还涉及一些对广义函数与卷积的探讨，也许你会觉得晦涩难懂，但请不要放弃，烈火才能炼出真金，克服了困难一定有相应的收获。最后，本书重点关注在实际问题中发挥重大作用的微分方程数值解法，当然只是简要介绍，如果你对这方面有兴趣，可以选修与数值分析相关的课程。同时本书也对非线性微分方程，这一真正的数学前沿加以介绍，真真正正地为读者架起了通往现代微分方程的桥梁！

目录

l 封面

l 扉页

l 版权页

l 前言

l 致谢

l 目录

l 引言

l 一阶微分方程

l 两个一阶方程

l 二阶线性方程

l 拉普拉斯变换

l 一阶线性方程组

l 非线性微分方程与稳定性

l 数值方法

l 附录 矩阵与线性代数

l 习题答案

l 参考文献

l 索引

文字 | 赵旭彤 · 复旦大学外教中心

图片 | 爱教材平台

排版 | 小材

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