Stata：拉索开心读懂-Lasso入门
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连享会课程 · 基于机器学习的因果推断方法
作者：杨继超 (中山大学)
E-Mail: yangjch7@mail2.sysu.edu.cn
目录
1. 引言
2. Lasso 究竟为何方神圣
2.1 从 OLS 到 Lasso
2.2 从 Lasso 到弹性网回归
3. Stata 范例
4. 参考文献和资料
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1. 引言
你是否总是为摸不准你女神或男神喜好只能感叹恋爱不易？
你是否觉得自己已经用尽全力，可换来的却仍是一句“你是个好人”？
好消息！好消息！好消息！
今日我们请来一位大师将手把手帮你解决你的烦恼。
在传授大师的秘籍之前，先设想一个例子：
假设有小 A 、小 B 和小 C 三人，各方面基本条件都差不多，也都谈过一些恋爱，而且此前谈过的对象类型和数量几乎无差别。
但这三人在失恋后重新找到新对象的速度和难易程度却完全不同，具体为小 B 最快，小 A 次之，小 C 最差。
小 A 和小 C 就如同正在看推文的你，百思不得其解。
原来，小 A 属于“钢铁直男”，虽然也交往过不少女友，但是从头到尾就学会了一招——送花加多喝热水。
而小 B 却不同，他细心且善总结，思维方式不单一，总结出女生大多都不仅喜欢玫瑰花，还都喜欢会使用 Stata 的男生等其它关键点（假设别当真^_^）。
小 C 属于“蠢直男”，小 C 和小 B 不同，思维方式比小 B 还丰富，小 C 摸清了每一位女友的偏好。例如，有的喜欢头发茂密的男生，有的喜欢学过连享会课程的男生，甚至有的只喜欢发过 AER 的男生等等，但是没有总结让女生喜欢的共通点。就好像某些搞题海战术的同学，做过的每道题都会了，但遇到新题又不会了。
这三位的情况就如下图所示的三种情况一般，左边的图和小 A 类似，不管什么数据直接上如玫瑰花和多喝热水一般的 OLS，结果通常为“欠拟合”。中间的图和小 B 类似，如小 B 一样改变了思维方式，即变换了回归函数的形式，结果通常为“好的拟合”。右边的图和小 C 类似，如小 C 一样摸清了每一个女友的偏好，数据拟合得很好，但是没有总结出任何规律，这便为我们所熟知的高维数据（自变量相对于数据量而言过大）模型，结果通常为“过拟合”。
图片来源：Overfitting and Underfitting.pdf
对小 A 而言，解决办法较为简单，就是稍微把这位“钢铁直男”的思维“掰弯”一点，转变一下思维方式，即调整设定的回归函数。
而对于小 C 而言，其思维方式已经够丰富了，解决办法有两个，第一种办法就是加大数据量的训练。毕竟小 C 极其细心，只要给他足够多的机会交女朋友，极限情况就是让他摸清全世界所有类型的女生偏好，他必将成为恋爱场上的王者（希望他不要成为渣男）。
显然，第一种方法在现实世界里很不现实，想得倒是很美！
于是就有了第二种办法，就是寻求恋爱大师的帮助。其实小 C 最致命的缺点并非过分细心，而是缺乏总结的能力，让大师教他如何总结，便可将缺点转为优点。
下面有请大师登场！
不好意思搞错了。。。
今天要跟大家隆重介绍的恋爱大师是 Lasso，全称为 Least absolute shrinkage and selection operator，他将教你抓住主要矛盾，即如何在纷繁复杂的男神和女神偏好中找到最为关键的偏好。
回到正题，Lasso 当然主要还是为了解决在高维数据下的过拟合问题。下面将具体讲解 Lasso 回归的理论和实操。
2. Lasso 究竟为何方神圣
2.1 从 OLS 到 Lasso
在介绍 Lasso (Tibshirani, 1996) 方法之前，仍然还是从大家最为熟悉的 OLS 方法说起。通过简单的推导，OLS 回归的参数可以由如下最优化问题求解：
一般而言，通过（1）解出的系数都不为 0。如果自变量个数 相对于样本量 而言过大，即 ，则 OLS 估计的参数没有唯一解，出现前文提到的过拟合问题。
因此，上述估计过程需要一定的约束（或称为正则化）作为惩罚，剔除部分自变量，以解决自变量相对于样本量过大而产生的过拟合问题。
具体而言，相对于 OLS 方法， Lasso 方法添加了 作为惩罚项（也称正则化函数），即
其中， 为 的 范数（ 范数则为 ）。 为惩罚项， 为调节参数 (tuning parameter)，控制惩罚的力度，其取值的确定通常采用交叉验证 (cross-validation)、 adaptive 和 plugin 三种方法来确定，即找寻使得样本外均方误差 MSE 最小的 。
其实，OLS 和 Lasso 都可以划归为一类问题，具体为：
其中， 为目标函数， 称作损失函数，衡量单个样本和拟合值之间的误差， 为代价函数，衡量整个样本集的平均误差， 为正则化函数或惩罚项，当 时，上述目标函数则从 OLS 回归转向惩罚回归。
另外，很多教材，包括 Stata16 的手册中，在代价函数前面都会乘以 ，原因有二：
乘以 是为了针对不同的样本容量， 的可比性； 乘以 纯属是为了求解最优化问题的方便，因为损失函数的指数为 2。
公式(2)亦可以等价为：
可能有人想问，为何是 范数而不是 范数或者 范数呢？原因主要是 范数有如下特殊性：
如果 足够小， 范数可以产生稀疏解（某些自变量系数为 0 的解），而且仅仅只有部分自变量系数为 0，这一点在 的 范数中是无法保证的； 在 的 范数中，虽然能够得到稀疏解，但是上述最优化问题将不再是一个凸规划的最优化求解问题，这会在计算上造成非常大的困难。
如下图所示，在只有两个待估参数的模型中，不同范数惩罚项的约束区域可用如下图形表示：
图片来源：Statistical Learning with Sparsity: The Lasso and Generalizations.pdf
下面以 范数和 范数为例，以图形的方式直观地分析 Lasso 方法为何更容易得到稀疏解，其中 范数作为惩罚项的方法被称作岭回归 (Ridge Regession) 方法 (Hoerl and Kennard, 1970)。
如下图所示， 为无惩罚项的参数估计值，即 OLS 估计值。在有约束的情况下，最优化问题会类似于微观经济学里的餍足偏好。其中，岭回归的约束集为圆形，最优解通常不在坐标轴上，得不到稀疏解，即无法通过约束使得某些变量系数为 0 来简化模型。而 Lasso 约束集为菱形，恰好可以弥补这一缺点。
图片来源：Statistical Learning with Sparsity: The Lasso and Generalizations.pdf
综上，综合了解的稀疏性和计算的便捷性两个主要优点，Lasso 方法的惩罚项选择了 范数。
另外，Lasso 还有另外一种用法，称为 postselection。简单来讲，先采用 Lasso 回归筛选模型自变量，再采用无惩罚项的模型进行回归，这种方法的结果会作为各种模型结果对比的参照，且此方法也可简单用于变量的筛选。
2.2 从 Lasso 到弹性网回归
Lasso 回归与岭回归回归相比虽然达到了变量选择的目的，但是也有一定的局限性。通俗来讲，Lasso 丢变量太狠，而岭回归又太温柔，为了综合二者，于是 Zou and Hastie (2005) 提出了弹性网回归，具体为
其中， 为弹性网惩罚系数，设定 则为岭回归，设定 则为 Lasso 回归。
3. Stata 范例
本节将采用 Stata16 软件中的系统数据auto.dta进行演示，虽然这个数据不是采用 Lasso 回归的最优数据，但本节仅仅只是用此数据做演示之用，以期让大家能对 Lasso 回归的基本操作有一个入门的了解。
Step1: 将数据分为训练集与验证集
sysuse "auto.dta", clear//调用系统数据
splitsample , generate(sample) split(.75 .25) rseed(12345)//将数据随机按照75%和25%分成两部分，前者为训练集用于回归，后者为验证集用于验证，rseed(12345)是为了让结果可重复
label define slabel 1 "Training" 2 "Validation"
label values sample slabel//给训练集添加标签为Training，给验证集添加标签为Validation
拆分数据后用tabulate看下样本结构,
tabulate sample
结果如下:
sample | Freq. Percent Cum.
------------+-----------------------------------
Training | 56 75.68 75.68
Validation | 18 24.32 100.00
------------+-----------------------------------
Total | 74 100.00
Step2: 用 OLS 做基准回归
quietly regress mpg i.foreign i.rep78 headroom weight turn gear_ratio price trunk length displacement if sample==1//先采用OLS回归
estimates store ols
跑完 OLS，用lassogof计算均方误差，
lassogof ols, over(sample)//计算均方误差，over(sample)表示同时计算训练集和验证集的MSE
结果为：
Penalized coefficients
-------------------------------------------------------------
Name sample | MSE R-squared Obs
------------------------+------------------------------------
ols |
Training | 4.490814 0.8710 56
Validation | 33.2273 -0.5475 18
-------------------------------------------------------------
不出所料，训练集的均方误差比验证集的要小很多，毕竟这些都是谈过的女朋友，脾气还是摸得比较准的。^_^
Step3: 基于交叉检验的 Lasso 回归
lasso linear mpg i.foreign i.rep78 headroom weight turn gear_ratio price trunk length displacement if sample==1, nolog rseed(12345)//调节参数默认采用cv交叉检验
estimates store cv
结果为：
Lasso linear model No. of obs = 51
No. of covariates = 14
Selection: Cross-validation No. of CV folds = 10
--------------------------------------------------------------------------
| No. of Out-of- CV mean
| nonzero sample prediction
ID | Description lambda coef. R-squared error
---------+----------------------------------------------------------------
1 | first lambda 4.898601 0 0.0282 37.17473
32 | lambda before .2738715 8 0.7521 8.962883
* 33 | selected lambda .2495415 8 0.7525 8.948511
34 | lambda after .2273729 9 0.7517 8.977777
36 | last lambda .188769 8 0.7502 9.031694
--------------------------------------------------------------------------
* lambda selected by cross-validation.
根据回归结果，交叉检验选择 ID=33 的调节参数，模型最终选择了 8 个自变量。
也可以用cvplot这个命令直观地看 取值不同对样本外均方误差的影响，
cvplot
结果如图所示：
可以看出，CV 交叉检验选择最优的 为 0.25.
不仅如此，我们可以运行coefpath命令直观地观察自变量系数随着不同 取值的系数路径图。
coefpath, lineopts(lwidth(thick)) legend(on position(3) cols(1))
结果如图所示：
此外，还可以进一步用lassoknots看看不同 取值的不同选择过程，
lassoknots
结果为：
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| No. of CV mean |
| nonzero pred. | Variables (A)dded, (R)emoved,
ID | lambda coef. error | or left (U)nchanged
-------+-------------------------------+---------------------------------------------------------------------------
2 | 4.463423 1 34.71904 | A weight
3 | 4.066905 2 31.20129 | A length
4 | 3.705612 3 28.30943 | A 5.rep78
12 | 1.760466 4 13.16168 | A turn
15 | 1.331728 5 11.10733 | A displacement
25 | .525261 6 9.177736 | A price
27 | .4360809 7 9.096081 | A gear_ratio
28 | .3973407 8 9.08659 | A headroom
* 33 | .2495415 8 8.948511 | U
34 | .2273729 9 8.977777 | A 2.rep78
35 | .2071737 8 9.007081 | R weight
36 | .188769 8 9.031694 | U
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
* lambda selected by cross-validation.
最后，可以根据上述结果进一步做敏感性分析，敏感性分析的目的是考察 一个微小的变化是否会引起结果产生巨大的差异。
先采用lassoselect手动选择一个最优 值附近的调节参数，
lassoselect id = 34
estimates store hand
然后采用lassogf命令比较手动选择的结果与交叉检验的结果差异，
lassogof hand cv if sample==2
结果如下：
Penalized coefficients
-------------------------------------------------
Name | MSE R-squared Obs
------------+------------------------------------
hand | 35.06322 -0.6330 18
cv | 34.89029 -0.6249 18
-------------------------------------------------
-Step3: 选择调节参数
上一步中提到，lasso linear默认的是用 CV 交叉检验方法选择调节参数，下面将采用 adaptive 和 plugin 两种方法重新选择，最后对比三种方法所对应的样本外均方误差，再确定最优的调节参数。
lasso linear mpg i.foreign i.rep78 headroom weight turn gear_ratio price trunk length displacement if sample==1, nolog rseed(12345) selection(adaptive)//采用adaptive方法
estimates store adaptive
lasso linear mpg i.foreign i.rep78 headroom weight turn gear_ratio price trunk length displacement if sample==1, nolog rseed(12345) selection(plugin)//采用plugin方法
estimates store plugin
为节省篇幅，省去了上述命令的结果，此处只给出不同方法的对比结果，仍然采用lassogof命令，
lassogof ols cv adaptive plugin if sample==2
结果为：
Penalized coefficients
-------------------------------------------------
Name | MSE R-squared Obs
------------+------------------------------------
ols | 33.2273 -0.5475 18
cv | 34.89029 -0.6249 18
adaptive | 35.85554 -0.6699 18
plugin | 18.06601 0.1586 18
-------------------------------------------------
从对比结果可见，采用 plugin 方法的均方误差最小。
Step4: 弹性网回归
这步将采用elasticnet做弹性网回归，弹性网回归里面内嵌了 Lasso 和岭回归，所以本步骤中也会给出岭回归代码，具体如下：
elasticnet linear mpg i.foreign i.rep78 headroom weight turn gear_ratio price trunk length displacement if sample==1, alpha(.25 .5 .75) nolog rseed(12345)//alpha分别取0.25、0.5和0.75的弹性网回归
estimates store enet
elasticnet linear mpg i.foreign i.rep78 headroom weight turn gear_ratio price trunk length displacement if sample==1, alpha(0) nolog rseed(12345)//岭回归
estimates store ridge
其中选项alpha()设定 的取值，取值为 0 则为岭回归，取值为 1 为 Lasso，其他取值为弹性网回归，为节约篇幅，大家可以自行运行上述命令。
Note: 调节参数的选取默认为 CV 交叉检验。
Step5: 模型对比
根据本文所介绍的内容，调节参数有 3 种选择方法，除去 ols,模型有 lasso、岭回归和弹性网回归 3 种，模型做法又可以分为 postselection 和非 postselection 两种做法，因此组合起来一共是 18 种组合，大家可以自行探索，其核心还是比较各种模型的均方误差大小，从而选择最优的模型结果，本文只演示部分对比结果。
首先仍然是采用lassogof进行对比，
lassogof cv adaptive enet ridge plugin if sample==2
结果为：
Penalized coefficients
-------------------------------------------------
Name | MSE R-squared Obs
------------+------------------------------------
cv | 34.89029 -0.6249 18
adaptive | 35.85554 -0.6699 18
enet | 31.30704 -0.4580 18
ridge | 29.47994 -0.3729 18
plugin | 18.06601 0.1586 18
-------------------------------------------------
上述结果表明应该选择 plugin 方法的结果。
接下来，采用 postselection 模型进行对比，
lassogof cv adaptive enet plugin if sample==2, postselection
结果为：
Penalized coefficients
-------------------------------------------------
Name | MSE R-squared Obs
------------+------------------------------------
cv | 36.9961 -0.7230 18
adaptive | 36.90559 -0.7188 18
enet | 38.19441 -0.7788 18
plugin | 39.96924 -0.8614 18
-------------------------------------------------
上述结果表明应该选择 adaptive 方法的结果。
学到这里，有了 Lasso 这位爱情大师坐镇，有数据的朋友可以丢进 Stata 跑一跑了，都说女人心海底针，在 Lasso 大师面前都能准确拿捏了。当然，女生也可以借力 Lasso 大师成功 pick 你心中的欧巴。
那么问题来了，正在看推文的你有“数据”吗？
【预告】 下篇推文将讲解如何 Lasso 做因果推断，敬请期待！
4. 参考文献和资料
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Tibshirani, R. Regression shrinkage and selection via the lasso. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 1996, 58(1): 267–288. -PDF- Zou, H., and T. Hastie. Regularization and variable selection via the elastic net[J]. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 2005, 67(2): 301–320.-PDF- Hoerl, A., and Kennard, R. Ridge Regression: Biased Estimation for Nonorthogonal Problems[J]. Technometrics, 42(1), 80-86. -PDF- David Drukker, The Stata Blog, An introduction to the lasso in Stata Hastie, T. et al. Statistical Learning with Sparsity: The Lasso and Generalizations[M]. CRC Press, 2015. -PDF- 陈强， 计量经济学及 Stata 应用推文，Stata 16 新功能之 Lasso 系列（一）：Lasso Basics
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