根轴训练题2-2019巴尔干预选几何组4
本题为2019年巴尔干数学奥林匹克预选题G4，是一道很好的训练题，题目知识储备要求了解垂心的相关性质；
题目标签：共圆类-垂心+中点-根轴-2019巴尔干G4
最后给出两种思路有细微区别的证法，先放题目：
（练习留白）
（练习留白）
现在先给出一个看上去比较正统的答案
证法一：
垂心H和中点M，经常用到的结论为：
垂心关于M的中心对称为A的对径点；
因此做出外接圆，
延长HM与ABC外接圆分别交于J、K；
由垂心的性质知K为A对径点；
故∠AJO=90°=∠OXA；
故J、X、O、Y、A五点共圆；
由结论往回推不难发现要证的下一组共圆
延长AH与BC交于D，
与外接圆交于L
结合垂心的性质：
HD=DL，HM=MK
注意到2HD·HA=HL·HA=HK·HJ=2HM·HJ
故AJDM四点共圆；
对(AJXY)、(AJDM)、(XYMD)由根心定理得
AJ、YX、MD交于一点P；
则PX·PY=PJ·PA=PB·PC
故BXYC四点共圆，证毕！
（点评在后面）
如果不做出外接圆的话，就用不上垂心H的性质，那么就要考虑其他切入点，证法二以AXY的两切一割模型为切入点，但是需要对极点极线的相关理论知识有一定的了解；
证法二：把图形隐藏的部分补全
连接AM交(HM)于Z，
设D、E、F为BC、AC、AB垂足
则∠MZH=90°
⇒A、F、H、Z、E五点共圆；
下面证明F、D、M、E四点共圆
事实上导角易知
∠FDB=∠FEM=∠A
故F、D、M、E四点共圆
由根心定理知
EF、ZH、MD交于一点P；
结合熟知引理ZH、MD、YX交于一点，
（极点极线部分的小结论，最后给出证明）
得P、X、Y三点共线
故PX·PY=PH·PZ=PF·PE=PB·PC
故B、X、Y、C四点共圆；
证毕！
熟悉的同学可以跳过，最后有一个简单的点评~
证法二小引理补充证明：
证明：由对称性，
只证明其中一方面即可；
根据三弦共点定理
只需证明(AX/XB)·(BD/DY)·(YC/CA)=1
注意到△PXA∼△PBX，
△PCY∼△PYD，△PAC∼△PDB
故(AX/XB)=(PX/PB)，
(CY/YD)=(PC/PY)，
(PC/PB)=(CA/BD)
带入即证！
简评：
方法一是龙老师的学生练习时完成的，对于熟悉垂心性质的同学来说再自然不过，如果对垂心和中点比较敏感的同学应该不难；
方法二是另一类对极点极线感兴趣的同学可能会想到的，但是从思维的难度上给自己设置了门槛和台阶；
本人还是力推法一，更符合联赛考察的感觉，总的来说能想到用根轴的话，此题应该还是有多解的；
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