根轴训练题3-加拿大2007/5

本题为2007年加拿大几何第5题，aops原题链接贴在文末；

题目标签：共点类-内心+外接圆-根轴-加拿大2007/5

看答案之前可以试着自己先做做，

需要知识储备：根心定理，三角形的内心（弦切圆，位似相关）

本题会给出两种不同的证明思路；

先放题目：

（练习留白）

（练习留白）

现在剖析一下该题：

(a)是显然成立的，这里不在赘述；

证明三线共点的方法很多，这里先给出一种根轴的思路，即把欲证明直线构造成三个圆两两根轴，这需要一定的时间去寻找，而本题有天然的三个圆可以证明共圆；

由于对称性，观察证明PQDE四点共圆即可，

余下两组同理可证；

注意到(APF)、(BQF)、(ABC)由蒙日定理

得AP、IF、BQ交于一点，做出交点X

又有IP⊥AP且IQ⊥BQ，

因此XPIQ也四点共圆；

接下来导角即可，这里我们证明

∠QPE+∠QDE=180°

结合共圆开始拆角：

∠FPE=∠A，∠IDE=(1/2)∠C

∠FDI=∠FBI=(1/2)∠B

从目标出发只需证明

∠QDF+∠QPF=(1/2)∠B+(1/2)∠C即可；

∠QDF=∠QBF=∠XPQ，

∴∠QDF+∠QPF=∠XPQ+∠QPF

                       =∠XPF=∠AEF

                       =(1/2)∠B+(1/2)∠C

故证毕！

如果对位似熟悉的同学，我们可以找到另一种完全不同的思路来说明三线共点，这里为了方便先把对称的部分去掉；

证法二(位似)：

为方便观察，擦掉对称的部分

同时做圆a与BC切于点D，与圆O切于点P'；

取X为弧BC中点则根据位似对应，

得P'、D、X三点共线；

另外观察△PBF与△PCE

注意到∠PFA=∠PEA，∠PBF=∠PCE

故△PBF∼△PCE

⇒(PB/PC)=(BF/CE)=(BD/DC)

因此在△PBC中PD为角分线，

故P、D、X三点共线；

因此P、P'重合；

观察圆O，圆a，圆I发现

圆O与圆a关于P位似，

圆a与圆I关于D位似，

因此圆O与圆I的位似中心在PD上；

(这个结论需要熟记，证明在下面)

另外两方面同理，故得证！

（法二引理证明~熟悉的同学可直接划到文末）

引理：O[1]、O[2]、O[3]两两外位似中心共线；

（简单的点评）

法一在目标的寻找上相对于法二来说要轻松一些，但是证明的过程有点坎坷，充分利用了根心定理，在证明共圆时，拆角是一个很重要的手段~

法二在目标的寻找上要困难些，需要平时对弦切圆有一定的基础和了解；但是证明的过程反而比法一要轻松多了，一个相似就基本完成任务；

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aops原题链接：

https://artofproblemsolving.com/community/c5052_2007_canada_national_olympiad