根轴训练题4-2014年IMOSL-G3

做了前三个根轴训练题的同学对根轴证明三线共点应该有一点自己的想法和体会了，今天再来一题加强一下训练效果！

本题是2014年IMO shortlist中几何部分的第三题，从题号上来看，难度正常

题目标签：根轴-共圆类-2014IMOSL-G3

自己做需要的知识储备：根轴（多纯粹的一道题目）

题目如下：

（练习留白）

（练习留白）

现在剖析一下该题：

其实不难发现，证明原命题结论等价于证明OM与BR是垂直的，因此BR与圆(BM)的交点就自然而然要取出来了;

但是R点的构造较为生硬,因此转换一下命题可能会舒服些;

取BM中点X，则OX为BM中垂线；

延长MO与BR交于Y，Y在以BM为直径的圆上；

顺便把R消去,如下图

考虑同一法，

只需证明OX、BY、PQ交于一点即可；

注意到PYBQ天然共圆

OXBY两垂直共圆

因此只需证OPQX共圆即可；

做到这里证明共圆的方法直观上是导角即可,

注意几个可能用到的条件:

X为(BM)的圆心,

OXZBY五点共圆;

BX平分∠ABC,

OP,OQ分别是AB,BC的垂线;

(没做出来的看到这里自己试试)

(不卖关子了)

∠POQ=A+C

∠XOQ=∠XBZ=(B/2)

故OX为∠POQ的外角平分线

结合XP=XQ得到X为△OPQ的北极点

故OXQP四点共圆!

(外角分线上满足XP=XQ的只有一个)

故证毕！

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aops原题链接：

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1113191p5083558