垂心训练题1-香港2013-P3

Original 刘通KL 小馒头的数竞日常

本来这题是从印度的2015年训练营看到的，但是aops上友情链接到了题源，是2013年香港的一题，难度不大，适合高联，也作为垂心相关训练题的首发

题目标签：对称-垂心+弧中点-共圆类-香港2013

需要的知识储备：内切圆性质+调和

先放题目:

现在剖析一下该题：

其实本题难度并不大，熟悉垂心性质的大部分可能会选择通过做垂心的对称来寻找思路；也同时看到，问题中“三点共线”这一条件是至关重要的，我们从三点共线开始，试着挖掘一些有用的性质；

1.AD'E'共线⇒∠A=60°

A、D'、E'共线得∠D'AB+∠E'AC=∠A

由对称得∠DAB+∠EAC=∠A

故弧BD+弧CE=弧BC

结合D、E为弧中点，

故弧BC=弧BD+CE=弧DA+EA=60°

故∠A=60°

下面证明共圆：

做H关于AB和AC的对称点，

因为CHH'、BHH''、OD'D、OE'E分别共线

则∠HD'O=∠HH'D=(弧CAD)

180°-∠HE'O=∠HH''E=(弧BCE)

而(弧CAD)=60°+(B/2)=(弧BCE)

故HE'OD'四点共圆；

证毕！

简评：

本题其实考察的东西很基础，思路平铺直叙，预计半小时以内做完，突然让我联想到了今年联赛第一题

本题对与熟悉垂心的一个对称性质有帮助；

aops原题链接：

https://artofproblemsolving.com/community/c6h567389p3324618

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