垂心训练题2-IMO2013/4
这是2013年IMO第二天的第一题，最开始是从even chen的几何书上看到的，本题主要训练的技巧是垂心组的共圆性质
(众所周知,垂心组有6组共圆)
题目标签：共线类-垂心+Miquel点-IMO2013/4
需要的知识储备：垂心，三角形的Miquel点
先放题目:
现在剖析一下该题：
拿到本题后发现W的任意性与MN的固定形成对比，而ANHM的共圆是垂心很基本的性质，自然联系到三角形的密克点，那第三个圆就应运而生；
根据三角形的Miquel点
⇒(AMN)、(BWN)、(CWM)交于同一点P
结合垂足性质得到A、N、H、P、M五点共圆；
若命题成立，则∠XPW=∠YPW=90°，
也就是P也在XY上，
那么就有∠HPW=∠HPA=90°，
也就是APW也必须要共线，证明思路成型
证明焦点集中在APW共线上；
而PW又是两圆根轴，故思路出现
由于B、N、M、C四点共圆
⇒AN·AB=AM·AC
⇒A在(BWN)与(CWM)的根轴上；
⇒A、P、W三点共线
(AMN)中∠APH=90°
(BWN)中∠WPX=90°
(CWM)中∠WPY=90°
⇒X、H、Y均在过点P且垂直于AW的直线上；
故证毕！
简评：
本题对与熟悉垂心的共圆性质有帮助；用到了两类代表性共圆，而共圆的性质也是解决本题的关键所在，第一个解决了垂直的问题，第二个解决了A在根轴上的问题；
但是本题对三角形的密克点的知识是有需求的，不知道三角形密克点的同学可以自行百度，百度啥都有。
aops原题链接：
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1181533p5720174
——————————————
喜欢做题的小伙伴赶紧关注吧，每天会发布训练效果比较好的题目，
适合准备高联的同学们；
有好的想法交流的可以直接在公众号里留言，我看到后会第一时间回复的~
趁本公众号车速还不快，赶紧关注，后面急速开车的时候别再抱怨题目太难了~
这么好的公众号别忘了推荐给身边的老师和同学
往期文章回顾
Send to Author