中点训练题4-2020南锥P3
小馒头的数竞日常
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先说啊，今天这个题目，是龙老师翻译的，并且在几何群里讨论的，并且最快做出来的也不是我，我就把自己想到的和觉得有用的说一说，顺便呼应一下昨天的中点题目,放一起看~~那么上面为什么要写原创呢？因为,虚荣[狗头]~
此题为2020南锥数学奥林匹克,至于想简单知道为什么叫南锥,请移步《2020南锥数学奥林匹克-中文翻译》
题目标签:共点类-中点+蝴蝶-2020南锥P3
知识储备:蝴蝶定理+中点性质
先放题目:
如图,内接于.为中点,直线与交于点,在上取,使得,线段中垂线与交于点,求证:直线与交点在上.
现在简单说一下这个题目;
两个思路作为开头其实均可
(这里我在做题的时候就被天奆剧透了)
注意到GEDMA这半个蝴蝶;
看到中点,联想倍长中线;
这里我来用倍长中线作为开头,会让人感觉还是没出高联难度;
倍长到,下面说明落在圆上;
取中点则且,
在中为斜边中点
故
在平行四边形中
故四点共圆;
回到原图:
以为两相交弦做蝴蝶定理
与分别交于
则
结合
得,由相似对应得
故重合,证毕!
简评:
其实本题引申出来一个小性质:
弦上取,以与做蝴蝶,则取交点有;
(本题的等价转化,可能有用额...)
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