内心训练题6-53届IMO预选题
小馒头的数竞日常
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寒潮袭击上海, 据说明天会大幅降温, 多喝热水~
最近感慨很多, 每当我要感慨数学竞赛生太不容易了, 结果就想到, 谁会说自己容易呢? 我们不能左右最后的结果如何, 但是我们可以左右自己是不是为了爱的事业追求~
今天给大家分享一道53届IMO预选题吧, 从海内外数学奥赛试题精选中找到的;(我忘了网友供过)
(ps: 这本书里面的部分证明好丑陋啊~)
题目标签: 平行类-垂足三角形+内心-53届IMO预选题
知识储备: 无
先放题目:
在锐角中, 点, , 分别为三边垂足, , 的内心分别为, , , (误，改为BCI_2)的外心分别为, . 证明: ;
现在剖析一下该题:
从结论入手, 命题中的提示性比较明显, 它是垂直于公共弦的, 也就是找到与的另一个交点, 只需说明也垂直于公共弦就行了;
但是做题的时候又不小心看到了公共弦穿过内心, 根据对称性再认真的推敲了一下, 认为另一个公共点应该是, 并且我们可以先从一个侧面入手,先说明, , , 共圆,其他同理;
延长, 交于点, 则
注意到且为旋转相似
, 为相似对应点,
故
故
因此, , , 共圆;
取的内心, 则同理有
, , , 共圆, , , , 共圆,
则,而在中
故证毕!
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