调和训练题1-2019爱尖子千人P3
小馒头的数竞日常
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今天的题目是2019年爱尖子的千人计划几何模块测试的第三题, 当时学生做的效果不好, 现在重新搞出来一看似乎可以秒掉..
题目标签: 共线类-等角线+共圆+调和- 2019爱尖子千人P3
知识储备: 调和相关
先放题目:
为锐角三角形, 经过, 与, 分别交于点, , 与交于点, 在, 上分别取, 满足, 设与交于, 设的圆心为, 求证: , , 三点共线;
现在分析一下该题：
本题其实熟悉调和的同学应该很快就有思路了, 在关于与的极线上, 证明, , 三点共线只需证两条极线重合即可;
引理1: 过作的两条割线, , 与交于点, 则在的极线上;
引理的证明:
圆内三弦共点只需证明:
而通过, 及容易证明,不再赘述;
回到原题:
(角等的条件用在证明PQRS四点共圆了!!!)
作出对的极线与交于,
作出对的极线与交于,
下面证明, , 共线:
(提示:不会调和的同学, 连接用正弦定理搞一下)
同理
因为, , 与, , 均共线,
故, 分相等, 故证毕!
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