内心训练题7-2015韩国
小馒头的数竞日常
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本公众号前几次的内心训练题已经将内心的东西搞了很多了, 相关的性质相信大家也积累了很多, 今天这道题目相信大家的收获仍然会很大
今天搞一个韩国2015年的题目, 涉及到了内心的另一组特殊点的应用, 模型还挺让人印象深刻;
题目标签: 共圆类-内心+外接圆+垂心-2015年韩国
知识储备: 调和+内心垂心的性质
先放题目:
已知的内切圆与边, , 切于点, , . 直线与的外接圆交于, . 若的外心为, 外心为, 证明: 的外心在直线上.
本题最一开始拿到图其实就解决了一小半了, 也就是是很好证明的, 也就是说要证的外心其实就是的中点, 同时还有一些关键的点要想办法用上, 一个是点, 一个是同时点出可能会有提供些帮助;
这里我先把引理搞掉:
引理1(调和点列性质): 直线上顺次分布四个点, , , 满足, 设中点为, 则
证明: 用基本线段表示所有线段, 设, , , 带入即证;
回到原题:
PQ这里给我们两个启示:
调和
与, 平行
延长与交于点, 取中点为,
则(Menelaus即证),
根据引理1得:
故四点共圆, 下面只需证明与中垂线与共点即可;
选择与而不是其他的线,是因为与对称, 与对称, 是几何美感的直觉告诉我们不能交叉使用;
注意到, 分别是与弧中点,
故, 结合,
得中点在
取出弧中点, 则共线
结合上面提到的, 得为垂心;
则由垂心的性质, 延长与外接圆交于
则四点共线,
观察, 为, 在上的投影,
故证毕!
我感觉最后的垂心帅爆了~~~~（被帅到的点个赞吧~~）
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