内心训练题8-2009IranTST
小馒头的数竞日常
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淦！今晚必更！
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题目标签: 平分类-内心+垂心+垂直-2009IranTST
知识储备: 调和+基本定理
先放题目:
△ABC中DEF为三边切点, I为内心, M为D在EF上的投影, P为DM中点, H为△BIC的垂心, 证明: HP平分EF.
剖析一下该题:
利用内心训练题1作为引理, 已经忘了内心训练题1是啥的, 请转到:
链接
回到原题:
设CI与EF交于G, BI与EF交于Q,
则根据引理知HGB共线且HQC共线.
∠IGB=∠IDB=∠IFB=90°,
故GFBDI五点共圆.
设HD与EF交于K, EF中点为J,
注意到∠HGK=∠FGB=∠BGD, 结合IG⊥HB
则(H,I,K,D)为调和点列.
即(HK/HD)=(IK/ID)
IJ⊥EF, 得IJ∥MD, 故(KI/ID)=(KJ/JM)
故(KJ/JM)·(MP/PD)·(DH/HK)=1
由Menelaus逆定理知, HJP三点共线.
证毕!
三个环节, 都还挺重要的, 引理+Menelaus+共圆都挺重要的;
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