中点训练题9-老师讲义
小馒头的数竞日常
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今天给大家弄一道学生听的老师讲义上的一题, 没有答案故问之, 解决后故分享之. 难度不大, 可动手;
题目标签: 共圆类- 内心+中点+倍长- 讲义
知识储备: 无
题目如下:
中为内心, 为底边中点, 为弧的中点, 分别倍长, 至, , 连接并设在上投影 为, 求证: 与相切.
分析:
若命题成立, 延长与切于点,
则有
注意到中有
故应该为中点, 故转化命题:
倍长至, 证明四点共圆即可;
共圆只需要证明
注意到已经有
故即证明即可
(发现顺便消去了R, 是良好的方向)
根据均为倍长所得, 因此只需证即可
以上均为一般点, 因此基本算是做完了!
先证明一个引理:
中为内心, 为边中点, 为弧中点, 则;
证明:
延长与外接圆交于点,
则易知三点共线,
由鸡爪定理
故
结合
故引理证毕!
回到原题:
倍长至,
, 分别为内外角分线,
故, 在中有
下面证明四点共圆即可;
即
由引理得
故
故四点共圆证毕!
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