内心训练题10-2019伊朗Final/G1
小馒头的数竞日常
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还是伊朗
题目标签: 共圆类- 内心+垂直- 2019伊朗FinalG1
知识储备: 无
难度参考: 高联2
题目如下:
△ABC中, I为内心, BI与AC交于点D, CI与外接圆交于点M, K在MD上满足KI⊥AI, 点F为点B关于点C的对称点;
求证: BIKF四点共圆;
本题有两个棘手的点: 一个是点, 一个是, 但是好在消点比较容易;
证明:
容易计算,
若结论成立则,
结合为中点,
只需证明平分即可(消去点F);
利用面积法, 下面证明,
即证
注意到
即证即可;
想办法消去点, 寻找的垂线
延长与外接圆交于点,
则
所以
带入即证;
(这里已经消去, 剩下全是一般点, 实际上已经证完了~)
下面证明一个引理:
引理: 中, 为内心, 延长, 分别与外接圆交于点, ;为与的交点则
引理的证明:
注意到, ,
,
带入即证毕!
回到原题, 由引理证毕!
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