垂心训练题5-2019伊朗Final-G2
小馒头的数竞日常
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2019伊朗Final-G2
这道题我自己做了很久但是没做出来, 受到aops上 @huricane 的一句 "Those two facts are enough" 的启发发觉其实早已经做完, 但是并没有看到已经做完了;
题目标签: 边等类- 垂心+垂直- 2019伊朗Final-G2
知识储备: 判断外心的方法
题目难度: 高联2-3
题目如下:
△ABC中, BE, CF是它的两条高线, H是垂心, HK⊥EF且与弧BC交于点K(不含点A), AK与BC 交于点P, 求证: PH=PK;
分析:
条件中需要考虑的用法, 这里注意到, 由此去构造点的对径点并不奇怪;
第二个需要考虑的点是结论, 位置上有点丑陋, 但是结合垂心的对称性, 能看到取出其关于的对称点, 则必然有为的外心;
这个时候有两个思路:
第一个就是结合两圆相交证明, 但是用不上这个条件;
第二个就是想办法说明是其外心, 仍要思考平行怎么用;
其实平行最后能带来的结果就是导角, 带着导角+这两个条件一筹莫展的时候, 那句神来之笔发挥作用:
"Those two facts are enough"
证明:
作关于的对称点和的对径点,
则假设命题成立,
则证明为的外心即可;
注意到PH=PJ, 即(HJK)外心在BC上;
另一方面
故外心在上
综上, 为外心.
证毕!
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