基础练习3-Pappus定理及其推广
小馒头的数竞日常
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伊朗一道题引发的引理
Pappus定理及其推广
Pappus定理: 直线上依次分布, , , 直线上依次分布, , , 与交于点, 与交于点, 与交于点, 则, , 三点共线;
这是大家熟知的定理, 证明也就不再赘述了, 百度可知, 这也不是本文的重头戏;
Pappus定理的直线形式: 六条直线, , , , , , 则以下三个命题, 任意两个成立可得第三个成立;
与的交点, 与的交点, 与的交点共线;
与的交点, 与的交点, 与的交点共线;
与的交点, 与的交点, 与的交点共线;
这个在证明命题时不太好用, 用处比较少, 证明的话结合(笛沙格定理)会比较容易证明, 这里也不在赘述;
Pappus定理的推广: 直线上有三点, , , 分别过, 作, 分别过, 作, 分别过, 作, 设, , , 则, , 三点共线;
这其实可以看作是定理中的两条直线, 其中一条变成了, 不过也有初等的证明方法;
证明: 设与交于点,
设, ,
下面证明即可;
由得
由得
故
因此证毕!
点评:
从证明过程中看到, 此命题中三个平行与三点共线是充要条件, 即命题中的五个条件:
, , 三点共线
, , 三点共线
任意四个成立可以得到第五个成立, 且证明过程基本一致;
下面做个小练习:
梯形引理: 梯形中, 满足, 在与上分别取点, 满足, 求证:
练习的证明:
延长与延长线交于点,
延长与延长线交于点,
则根据得
根据得
故
因此得到证毕!
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