内心训练题11-2019伊朗第三轮G3
小馒头的数竞日常
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这是一道很长的题目
本公众号前两天的文章都是为了今天这个题目的解答, 所以看今天的文章之前应该先对前面两个有所了解, 链接放在下面:
题目标签: 共点类- OI连线+切线- 2019伊朗第三轮G3
知识储备: (参考上面链接)Pappus+OI直线性质+等角共轭
题目难度: ⭐⭐⭐⭐⭐(CMO2,5)
题目如下:
内心为, 外心为, 内切圆切三边于, , ,过作的的切线与过点作的的切线交于点,
证明: 与的交点在上;
分析:
这个题目我是参考了aops的思路的, 要处理的东西涉及到两个:
连线;
连线;
我们先证明两个引理:
引理1:的内心为外心为, 切点三角形的垂心为, 则, , 三点共线;
(此处感谢炸神 @张峻铭 , 更多相关类似内容请参考纯几何吧2799, 也可以多学习炸神其他内容)
引理的证明:
取出旁心三角形,
结合与对应边平行得位似,
取出位似中心(笔误，它听该叫X57)
注意到为的垂心,
因此三点共线;
注意到为的九点圆圆心,
因此为其欧拉线,
为的欧拉线,
故五点共线, 证毕!
引理2: 内心为, 内切圆切三边于, , , 的垂心为,关于的对称点为, 则与交点在上;
引理2的证明参考链接:
回到原题:
取出的垂心,
由引理1知三点共线;
作关于的对称点,
则由引理2知, , 交于一点
故下证三点共线即可;
这里通过计算有向角发现:
故取出关于的对称点,
则关于等角共轭,
因此
故三点共线证毕!
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