内心训练题12-2019意大利/P5
小馒头的数竞日常
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今天是昨天学生问我的一道题目
题目标签: 垂直类-角分线+中点-2019意大利P5
知识储备: 无
难度系数: 高联1-2
题目如下:
角分线的中点为, 为上一点, 满足, 求证: .
分析:
条件中角等给的不太自然, 明显利用来转化, 这里给两种证法, 当然两种都是算角, 只不过是看问题的角度不同;
证法一思路(过程在最后):
证垂直只需说明即可, 而注意到里面有个, 也就是表明
进而得到在(也就是鸡爪圆)上, 结合, 下面证明即可, 然而这是显然的;
证法二思路: 如果做过台湾2014年的TST就应该可以想到构造直角的方法, 通过构造边上的垂线, 证明四点共圆即可; 同时利用在中, 为斜边中点, 也因此有了转化的依据;
证法一:
做出鸡爪圆, 为内心, 为旁心,
由内外角分线出调和得
四点调和, 因此
结合,
故
因此在上;
,
故
证法二: (参考了AOPS)
作于, 则
连接与
由得
因此
所以
故
故四点共圆, 证毕!
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