垂心训练题7-2018伊朗第三轮G3
小馒头的数竞日常
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继续伊朗, 一道神奇的证垂直的题目
感谢读者告诉我昨天意大利的题目与 @金磊 老师发过的题目撞车了, 深表歉意, 但毕竟都是真题, 题目撞车在所难免, 本公众号只是发一些日常做题的整理, 大家可以跟我一起佛系刷题, 强烈推荐大家学习几何构型的话参考 @金磊 老师的公众号: 金磊讲几何构型
题目标签: 垂直类- 垂心+九点圆+中垂线- 2018伊朗第三轮G3
知识储备: 九点圆的性质
题目难度: 高联2-4
(就是思路比较窄, 倒不算很难)
题目如下:
中为垂心, 为的外心, 为弧上任一点, 延长与的九点圆交于点(点在中间), 在九点圆上且满足, 求证: ;
分析: 额..怎么说呢, 这道题乍一看奇奇怪怪的, 这个跟谁也不挨着, 的构造也很奇怪, 条件中也就 九点圆 和 (BHC) 还友善一点, 不难发现两圆关于点位似, 看看能不能从这个点入手;
本题给出两个证明方法, 不过不是我的方法, 在aops上参考的两位网友的, 名字会注在证明之前;
证明一: (Aryan-23)
延长, ,
分别与圆交于点, ,
下面证明为中点即可;
根据垂心的对称性,
与关于对称,
进而得九点圆圆与圆关于点位似,
(, , 中点都在九点圆上)
位似比为1: 2, 因而
故
故,
则
因此为中点,
故证毕!.
证明二: (PROF65)
从上一证法中九点圆圆与圆关于点位似继续,
得, , 三点共线且为中点,
取出X中点, 则,
注意到
故为等腰梯形,
故也在的中垂线上,
故
故为直角三角形;
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