内心训练题15-协作体2017/14
小馒头的数竞日常
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一道简单的内心训练题
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题目标签: 垂直类- 内心+平行+中位线- 协作体2017-14几何
知识储备: 无
题目难度: 高联1
(虽然题源写的是协作体, 但是我相信本题绝对是改编...)
题目如下:
中, , , 分别为三边切点, 为, 的中点, BI与MN交于点P, 点Q满足QM∥AI且QP⊥PM,
求证: QI⊥BC
分析:
点按照题意来看应该是三线交点: 过的平行线, 过的垂线, , 那么就挑着好用的条件二推一就行;
如果证明垂直, 则需要用到平行给提供的比例关系, 如果证明平行, 则垂直应该可以得到很多共圆, 导角即可;
这里在命题的选择上, 我证明的其中一个垂直, 算边有点麻烦了, 我的学生选择了证明平行, 导角就十分的方便了, 那么只需求出等于即可;
证明: (郑霄鹏)
首先重新定义点, 与过且垂直于的直线交于点,
下面证明, 即求即可
结合四点共圆(两直角), 得
结合得, 故,
故, 结合, 故四点共圆;
故
故
证毕!
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