调和训练题3-2017伊朗FinalG2

今天又触及知识瓶颈了

继续搞伊朗, 这么一段时间没弄伊朗了, 是因为碰到了知识瓶颈了. 不过也感谢乌江大师不厌其烦的解惑, 哈哈

题目标签: 共点类- 交比-2017伊朗FinalG2

知识储备: 交比(当然也可以不用)

题目难度: 高联1-3

题目如下:

形内一点, , 分别与对边交于点, , 与外接圆交于, (在内), , 分别与交于, , 求证: 与的交点在的外接圆上.

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先简单介绍一下交比(只是简单介绍, 更多的大家自己翻书吧)

(毕竟高联也不让直接用交比的性质, 本质上转化为三角就行)

对平面上四个复数, , , 称为这四个数(或点)的交比, 记为.

当然在平面几何上我们更喜欢下面这个版本:

交比在平几中的应用:为直线上四点,记为点列, , , 的交比, 若, , , 分别与另一直线交于点, , , , 则有

证明是显而易见的:

证明:

证毕!

还有一个圆上的版本

若, , , 四点共圆且,

则与的交点在的圆上;

证明的话, 用同一法表示成三角也可以解决

证明: 重新构图

设与圆交于, 与交于

则

同一法证毕!

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回到原题, 有了上面交比的基础的话, 本题的证明就变得很简单了:

证明:

故与交于一点.