SPDZ 学习笔记-part2
离线阶段
同态加密同态加密方案未提出具体方案，可参考BGV[1]等同态加密方案（在后续SPDZ改进论文中，使用了一层的BGV方案）。
Reshare协议
1.各参与方随机选择，记。
2.各参与方计算，并将结果发送给其他参与方。
3.各参与方生成的零知识证明，并发送给其他参与方进行验证（零知识证明为一种密码协议，可以在不泄漏秘密值的情况下证明秘密值的正确性）。
4.所有参与方计算， 。
5.所有参与方运行分布式解密算法，解密，得到。
6.参与方计算，其他参与方计算。
7.若，则所有参与方计算。
1.对于， 所有参与方计算；各参与方计算，因此各参与方得到了的秘密值份额。
2.输出。
PAngle协议
1.所有参与方计算；
2.各参与方计算，因此各参与方得到了的秘密值份额。
3.输出。
离线完整协议
1.初始化。生成全局MAC密钥和参与方密。
所有参与方运行分布式密钥生成算法，得到公钥；
各参与方生成；
各参与方生成，记，为全局MAC密钥；
各参与方计算并广播密文,，其中；
各参与方使用零知识证明协议验证,为正确性；
所有参与方计算，生成秘密分享值。
2.生成随机值的秘密共享值。
各参与方生成，记；
各参与方计算并广播密文，记；
各参与方使用零知识证明验证密文的正确性；
所有参与方计算。
3.生成乘法三元组。
各参与方生成，记，；
各参与方计算并广播密文；
各参与方使用零知识证明协议验证密文的正确性；
所有参与方计算；
所有参与方计算；
所有参与方计算；
所有参与方计算；
所有参与方计算。
3
在线阶段完整协议
在现阶段主要完成计算以及中间值和结果的MAC校验等，基础计算主要包括加法、乘法等。
在现阶段主要过程如下：
1. 初始化。准备全局MAC密钥，随机数秘密分享值、，乘法三元组等参数。
2. 输入阶段。设参与方的输入为，向打开，然后广播，各参与方计算。输入阶段主要是将输入值分片，产生对应的秘密分享值。
3. 加法计算。设输入为，计算。
4. 乘法计算。设输入为，则计算分为两步：1）使用三元组校验；2）计算。
5. 输出阶段。再输出最终结果前，需要对中间值、结果进行MAC校验，SPDZ 协议 MAC 验证时为了提高效率，可以在打开多个秘密分享值后通过一次MAC批量校验。
设在此次验证 MAC 前已有个秘密分享值被打开，即有个MAC 未验证，记为，其中对应的秘密分享值为，需要先打开一个随机值，然后各参与方计算，最后各参与方计算；
各参与方使用对和输出值进行“承诺”，“承诺”函数包括承诺阶段和打开阶段，承诺阶段对秘密值进行“混淆”，生成承诺值，并发送给验证方；打开阶段，发送方将秘密值发送给验证方，验证方使用秘密值（通常也会加入随机数）验证承诺值。“承诺”函数可由Paillier加密、离散对数、哈希等方法构造。
打开全局MAC密钥。
各参与方通过承诺函数，打开，然后所有参与方验证，若公式成立，则验证通过，即输出结果正确，否则，终止协议。
打开最终结果前，需要对的承诺值进行验证。验证通过后，计算，然后验证，验证通过，则即为最终正确结果。
参考文献
[1] Z. Brakerski, C. Gentry, and V. Vaikuntanathan. (leveled) fully homomorphic encryption without bootstrapping. In ITCS, pages 309–325. ACM, 2012.
本文来自知乎作者：小明原文链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/534036153
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