如何对雪球结构定价？
导读
1、 雪球产品是一类典型的自动赎回结构化产品，当标的资产的价格在特定日期超过某约定的水平时，产品触发自动赎回，因为雪球产品通常能提供较高的票息，所以近年来得到了广大投资者的青睐，市场规模不断扩张。
2、 雪球产品的支付结构较为复杂，在标的资产的不同情景下收益有所不同，可以将其看作多个结构更简单的障碍期权的组合，根据雪球产品的支付规则，本文将所有收益情景分成三大类：敲出、未敲入未敲出和敲入未敲出，并分别使用有限差分法和蒙特卡罗模拟进行定价，从最终定价结果分析，两种方法的差异较小。
3、使用蒙特卡罗模拟的方法对本文案例产品的收益结构进行分析，在风险中性测度下，产品提前敲出的概率是非常大的，占比超过了70%，此时投资者提前获利了结；未敲入且未敲出的轨道数量占比不到5%，这是投资者最希望发生的情况，从结果来看最终能在整个产品存续期间年化获利25%的概率不到5%；敲入且未敲出的情形占比接近25%左右，此时投资者的最大收益为0，意味着购买该产品投资者有25%的概率产生亏损。
4、 当产品条款已确定时，利用本文的案例对标的资产预期收益率和波动率进行分析，我们发现当标的资产的预期收益率较高且处于低波动的状态时，投资者未来的潜在收益增加，因此我们建议投资者在购买雪球结构时对未来的标的走势和波动进行预判，若看好标的走势且波动趋于平缓，投资者购买产品的胜率将提高。
5、对投资者而言，雪球产品的高票息和高胜率极具吸引力；对产品发行方而言，通常选择高波动的挂钩资产并使用贴水的股指期货进行对冲来获取高抛低吸的收益，这也是发行方能够提供高票息背后的原因。
风险提示：本报告基于公开资料的统计和整理，不构成投资建议。
1、初见庐山：什么是雪球产品？
1.1
雪球结构化产品模式简介
结构化产品 ( Structured Products) 是指运用金融工程技术, 对债券、期权、互换等工具进行重新设计后构造的复杂金融衍生产品，在海内外市场中已经有了一定的发展历史。若将赎回条款附加到结构化产品中，即产品存续期间挂钩的标的资产满足提前赎回条件，投资者可以获得较高收益，具有这种特征的产品称为自动赎回的结构化产品。由于赎回条款增加了产品的吸引力，自从法国巴黎银行在2003年8月15日发行了首只可赎回结构化产品后，自动赎回产品的数量和名义本金不断增加。
目前备受关注的雪球产品是一类典型的自动赎回结构化产品，当标的资产的价格在特定日期超过某约定的水平时，产品触发自动赎回，因为雪球产品通常能提供较高的票息，所以近年来得到了广大投资者的青睐，市场规模不断扩张。我们首先对雪球结构化产品进行简单的介绍，雪球结构属于路径依赖的产品，每一个产品都有挂钩的标的资产（可以是个股、股票指数或者指定的一篮子股票），且每个产品都有一定的观察期限，标的资产的价格变化路径以及最终表现决定了投资者的收益。
下表展示了雪球结构收益凭证的案例，该产品的期限为360天，挂钩标的为中证500指数，根据产品的条款，敲出水平为标的资产期初价格的103%，敲入水平为期初价格的80%，雪球结构将从第三个月开始每月观察期权是否敲出并每日观察期权是否敲入，若在任一敲出观察日，挂钩标的收盘价格大于或等于标的指数的期初价格*103%，投资者可以获得100%本金+敲出票息；若在观察期限内既没发生敲出也没发生敲入，投资者获得100%本金+红利票息；若在观察期内敲入且未敲出，且标的资产的到期价格小于期初价格，投资者相当于将名义本金（100万）以期初价格买入标的并持有到期，此时投资者发生亏损；若在观察期内敲入且未敲出，且标的资产的到期价格处于期初价格和敲出价格之间，投资者全额收回本金，无额外收益。
1.2
情景分析
在简单介绍了雪球产品之后，我们仍旧使用1.1.中的案例并采用情景分析的形式对每一种情况举例，试图更加形象地展示雪球产品的收益结构。上述产品的存续时间为360天（如果敲出合约提前终止），我们不妨假设从第三个月开始，每隔30天观察产品是否敲出，即产品存续期内的第30*N天为产品的敲出观察日（N=3,4,…,12），产品在不同路径下的收益结构有所不同。
触发敲出，产品提前结束
从第三个月开始，逐月观察标的资产在敲出观察日的价格，当标的资产的价格大于等于敲出价格，投资者将获得25%的年化收益率，产品提前赎回。具体而言，在产品的存续期内提前敲出分为两种情况，一种是雪球产品在在触发敲出之前从未敲入（参见图表3），另一种是在敲出之前曾发生过敲入（参见图表4），但是这两种的计息方式是一样的，下图表中的案例均在第二个敲出观察日触发了敲出，无论在敲出之前是否触发了敲入，投资者获利了结，到期收益均为25%*T/365*本金（T=120），并且全额收回本金。
从未触发敲入和敲出
在存续期内，标的资产价格既没有触发敲入，也没有触发敲出，产品到期终止，整个存续期的年化收益率为25%，投资者到期收回本金，且产品存续期的票息为25%*T/365*本金（T=360），这是所有情况中最有利于投资者的一种。
敲入且未敲出
若在产品存续期内，标的价格从未触发敲出但触发了敲入，此时投资者的收益由标的资产的到期价格决定。若标的资产的到期价格高于期初价格但是低于敲出价格（参见图表6），此时投资者收回期初支付的名义本金，没有额外的票息收益。
若标的资产的到期价格低于期初价格（参见图表7），此时投资者不但不能获得收益，还要承担标的资产在产品存续期间的跌幅所对应的名义本金价值，亏损金额为（期末价格/期初价格-1）*名义本金，这也是雪球产品本金发生亏损的唯一情形。
2、抽丝剥茧：如何对雪球产品定价？
2.1
雪球结构拆解
雪球产品的支付结构较为复杂，在标的资产的不同实现情景下收益有所不同。为了进一步分析此产品的收益特征，我们可以将其看作多个结构更简单的障碍期权的组合，下面我们具体阐述如何将雪球产品进行分解。
根据雪球产品的支付规则，我们可以将所有收益情景分成三大类：敲出、未敲入未敲出和敲入未敲出。
2.2
有限差分法
方法介绍
求解产品价值
前文中我们提到，雪球产品可以分解为若干障碍期权的组合，这意味着我们可以先对分解后的多个障碍期权定价，然后加总得到雪球产品价值。下面我们以前文的雪球产品为例，对收益情景进行分解，并使用有限差分法定价。
一、求解情景一期权价值
利用有限差分方法，我们求解得到1元名义本金对应的OTU期权价值约为0.06414169元，即100万元名义本金对应的情景一期权价值为64141.69元。
二、求解情景二期权价值
利用有限差分方法，我们可以求解得到1元名义本金的DOT期权价值约为0.2296065元。利用DOT和DNT平价公式，我们得到1元名义本金的DNT期权价值约为0.00977979元，即100万元名义本金的情景二期权价值约为9779.79元。
三、求解情景三期权价值
分别求解上述PDE可得1元名义本金对应的UOP期权价值为0.05687924元，DKOP期权价值为0.00298139，因此1元名义本金对应的情景三期权价值为-0.05389785元，即100万元名义本金对应的情景三期权价值为-53897.85元。
雪球结构价值
根据以上计算，我们将雪球产品分解定价结果总结如下表。100万名义本金对应的情景一期权价值为64141.69元，情景二期权价值为9779.79元，情景三期权价值为-53897.85元，求和得到雪球产品整体收益价值为20023.63元。
2.3
蒙特卡罗模拟
对于简单的香草期权，我们通常使用BS模型定价，对于一些复杂的奇异期权可能并不存在解析解（在上文中我们使用了有限差分法对期权定价），但是考虑到有限差分法通常比较复杂，因此在实际应用中我们常常会尝试一些其他的定价方式。蒙特卡罗是一种通过模拟标的资产价格随机运动路径得到定价产品期望价值，并将此期望价值贴现至现在时点来估计衍生品价格的数值方法。蒙特卡罗模拟进行衍生产品定价的核心在于生成标的价格的随机过程，如股价运动服从的伊藤过程，利率在Hull-White模型下服从的随机游走，只要给出具体表达式即可模拟。下面以股票价格为例进行说明：蒙特卡罗模拟随机产生一组股价的样本值，即模拟实验。在产生足够多样本值后，模拟实验的代数平均数常用来估计期权的收益分布期望值，然后用无风险利率对其贴现来得到衍生品的价格。蒙特卡罗模拟的实质是模拟标的变量的随机运动，预测其衍生品的平均回报，并由此得到衍生品价格的概率解。
蒙特卡罗的优点在于可以对各种复杂衍生产品进行定价，思想较为直接，但是蒙特卡罗有时收敛较慢，当设置的路径条数较多时会影响定价的效率。下面我们使用蒙特卡罗对上述雪球产品定价。
为了更加直观地展示蒙特卡罗方法模拟的标的资产的价格发展路径，下图展示了10000条路径在720个节点下的价格模拟轨道，已知标的资产的期初价格为6500，在全部路径中价格的最大值为16909.40，最小值为2549.60，均值为6663.78。
在对价格路径进行模拟之后，我们根据产品的条款可以知道每一条路径下的收益情况，从而对雪球产品进行贴现，全部路径下的贴现价格均值就是期权的当前价值。为了能与有限差分法相比较，所以在使用蒙特卡罗方法的时候我们也将同样根据雪球结构的三种情景分为敲出部分、未敲入未敲出部分和敲入未敲出部分，然后分别对其使用蒙特卡罗方法定价，加总后即可得到产品的总价值。
首先我们将目光聚焦于敲出、未敲入未敲出和敲入且未敲出三种情景各自发生的概率，从而更清晰地了解产品的收益分布情况。下表展示了在不同的模拟轨道数量下雪球结构各种情形发生的概率，随着轨道数量的增加，各种情形占比也趋于稳定。从最终的分布来看，在风险中性测度下，本产品提前敲出的概率是非常大的，占比超过了70%，此时投资者提前获利了结；未敲入且未敲出的轨道数量占比不到5%，这是投资者最希望发生的情况，从结果来看最终能在整个产品存续期间年化获利25%的概率不到5%；敲入且未敲出的情形占比接近25%左右，此时投资者的最大收益为0，意味着购买该产品投资者有25%的概率产生亏损。
下图展示了在不同的轨道数量下雪球产品的定价结果，随着模拟路数量的增加，蒙特卡罗定价的结果逐渐收敛。当轨道数量为1000条时，该雪球产品收益部分的贴现价值为17562.12元，大约在3万次模拟之后结果收敛到误差范围内，当模拟次数达到50万条时，雪球产品收益部分的贴现价值为20206.23元。
下表展示了有限差分法和蒙特卡罗模拟两种方法对雪球结构的定价结果。若从拆分后的结构进行分析，可以看到敲出部分和敲入且未敲出部分定价结果相差不到1%，若对整个雪球结构进行分析，可以看到两种方法的定价结果相差非常小，使用有限差分法的定价结果为20024.63元，而使用蒙特卡罗模拟的定价结果为20206.23元，两者相差比例为0.91%。
3、追本溯源：雪球产品是否值得投资？
3.1
什么样的市场环境适合投资雪球产品
站在投资者的角度，我们需要关心的是雪球产品是否值得投资以及什么样的市场环境更适合投资；对于第一个问题，我们可以利用雪球产品的条款对其定价，并根据贴现价值进行判断，报告的第二部分已经对此内容进行了详细的讨论；对于第二个问题，我们需要对不同的环境参数和产品条款进行讨论，在本部分中我们将对标的资产的预期收益率和标的资产的波动率进行分析。
标的资产的收益率
对本文的案例进行分析，我们发现当其他条件相同时，标的资产的收益率越高，对投资者越有利，所以若未来一段时间的资产表现较好，投资胜率将提升。在风险中性测度下，默认风险资产的预期收益率等于无风险利率的收益率，实际投资中当投资者看好标的资产，认为未来不会持续下跌时，购买雪球结构的意愿将更强。下图表展示了不同的对数收益率假设下，本文中雪球结构收益的分布情况（10万条轨道的蒙特卡罗模拟），在同一组随机数下，控制其他条件保持一致，当标的资产的对数收益率从5%变化到40%时，雪球结构的投资胜率也单调递增。
上述结论也符合我们的逻辑直觉，对于投资者而言，购买雪球结构相当于卖出了带有复杂障碍条款的看跌期权，若标的资产价格上涨概率较大，产品敲出概率增加，敲入且不敲出概率减小，投资者的收益将提升。近年来雪球产品规模的快速扩张也与权益资产整体表现较好有关，若标的资产处于趋势上涨周期（如2019年一季度），投资者获取正收益的概率增加，若标的资产处于趋势下跌周期中（如2018年），投资者亏损的概率也会相应增加。
标的资产的波动率
对本文的案例进行分析，我们发现当其他条件相同时，标的资产的波动率越低，雪球结构的贴现价值越高，对投资者越有利，所以若预期未来一段时间内标的波动率会下降，投资胜率将提升。我们不妨考虑极端的情况，若标的资产的波动率为0，那么资产价格将随着时间的推移直线上行（假设标的资产的预期收益率为无风险收益率），投资者的到期收益有两种可能：若敲出价格较低，标的资产价格提前敲出，投资者提前获利了结；若敲出价格较高，产品持有到期，获得红利票息，无论是哪一种情况，投资者的收益均为正，此时投资的胜率为100%；反之，若标的资产的波动率较大，未来的价格的上下限将宽幅波动，虽然提前敲出的概率变大，但是敲入的概率也在相应增加，表示投资者收益的不确定性也在增加。
根据我们的测试，若控制其他条件保持一致（在同一组随机数下），当标的资产的年化波动率从0%变化到40%时，雪球结构的贴现价值单调递减。当标的资产的年化波动率分别设置为10%和30%时，在10万条轨道下标的资产模拟价格的最大值分别为10546.16和25372.89，最小值分别为3894.27和1277.52，雪球定价分别为137544元和-3972元。因此，如果未来市场波动变大，购买雪球产品潜在的最大亏损风险可能增加。
雪球结构的收益受到多重因素的影响，从产品条款的角度出发，若雪球结构设置的敲入价格越低，触发敲入的概率越小，那么投资者的胜率就越高，产品的平均收益率也会随之提高，我们建议保守的投资者可以选择敲入价格较低的产品；当产品条款已确定时，利用本文的案例对标的资产预期收益率和波动率进行分析，我们发现当标的资产的预期收益率较高且处于低波动的状态时，投资者未来的潜在收益增加，因此我们建议投资者在购买雪球结构时对未来的标的走势和波动进行预判，若预期未来标的趋势向上且波动趋于平缓，投资者购买产品的胜率将提高。
3.2
高票息背后的原因
具有吸引力的敲出（红利）票息是雪球结构备受欢迎的主要原因之一，为什么产品能提供给投资者如此高的票息？这些收益究竟来自于何处？站在产品发行方的角度，我们在本部分将分析雪球产品的运作模式以及雪球高票息背后的原因。
在报告第二部分的模拟案例中，定价结果显示雪球产品到期收益的贴现价值为20023.63元（名义本金为100万元），投资者可能会疑惑，证券公司为什么会愿意折价发行产品？其实不然，对于产品的发行方而言，一方面投资者期初支付的名义本金（100万）可以投资产品获取收益；另一方面，细心的投资者可能会发现，雪球挂钩的标的资产通常为中证500指数，产品发行方在对冲时能获取相当一部分的收益，下面我们将对其展开分析。
对冲中的高抛低吸
对于投资者而言，购买雪球结构相当于卖出了带有障碍条件的看跌期权，当标的资产上涨时投资者获得收益（有天花板），但是当标的资产下跌时，承担和资产价格相同的跌幅。对于产品的发行方则恰恰相反，卖出雪球结构相当于买入了带有障碍结构的看跌期权。
虽然雪球结构希腊字母的计算相较于普通的期权更加复杂，但是对冲的基本思想是相同的。对于产品的发行方而言，买入看跌期权的对冲是收益性对冲，对标的资产持续的高抛低吸是收益的重要来源之一。举例而言，假设当前做多一份看跌期权的delta为-0.5，如果标的资产的价格上涨了100元，看跌期权的delta增加到-0.4，为了持续保证delta中性，期权交易员此时需要减少头寸（高抛）；反之如果标的资产的价格下跌了100元，看跌期权的delta降低为-0.6，此时期权交易员需要买入更多的现货以保持delta中性，所以在现货下跌的时候反而在补充头寸（低吸），若标的资产价格不断波动，对资产高抛低吸的机会变多，券商的对冲收益也会随之加大。
股指期货的基差收益
目前雪球产品的标的资产多为中证500指数，在进行期权的对冲时，由于股指期货常年处于贴水的状态，产品发行方可以使用股指期货多头代替现货指数多头，从而获取基差的收益。
首先定义股指期货的年化基差率=（股指期货价格-现货价格）/现货价格*365/剩余到期自然日，下表展示了中证500股指期货、沪深300股指期货和上证50股指期货分年度的年化基差率，不难看出中证500股指期货和沪深300股指期货均长期处于贴水状态中，且中证500期货的贴水程度更深，2016年以来的当月合约的年化基差率均值为-19.94%，2021年至今的年化基差率均值为-11.51%；沪深300股指期货从2016年以来的当月合约的年化基差率均值为-12.11%，2021年至今的年化基差率均值为-8.53%。当其他条件相同时，若使用股指期货作为对冲工具，相对于直接使用现货对冲，股指期货多头的贴水也能为投资者带来不菲的收益。
标的资产的高波动性
目前雪球产品的挂钩标的大多为中证500指数，我们推测出现这一局面的原因一方面是由于中证500股指期货的贴水相对更深，期货对冲的收益增厚更多，另一方面是因为中证500的波动较大，产品发行人在对冲时获利明显。
对于产品发行方而言，卖出雪球结构相当于买入了带有障碍条款的看跌期权，作为期权的买方，发行方希望波动率上升从而获取收益；标的资产的波动加大，产品发行方高抛低吸的机会也相应增多。下表展示了部分宽基指数的收益波动情况，可以看到中证500指数的年化波动率要高于沪深300和上证50指数。
在一定程度上，雪球产品同时满足了发行方和投资者的需求，因此成为了场外市场中的“香饽饽 ”。对投资者而言，雪球产品的高票息和高胜率极具吸引力（虽然在实际情况中，大部分产品都提前敲出，到期未敲入且未敲出的产品只占很少一部分，且还有一部分投资者可能会产生亏损）；对产品发行方而言，主要的收益来自于标的资产的高波动，发行方通常选择高波动的挂钩资产并使用贴水的股指期货进行对冲来获取高抛低吸的收益，这也是发行方能够提供高票息背后的原因。
4、推陈出新：雪球产品的创新模式
雪球结构触发敲入且从未敲出时，投资者亏损离场。为了降低投资者亏损离场的风险，海内外的产品发行方对雪球结构不断创新，下面我们对雪球结构的部分创新模式进行简单的介绍。
4.1
牺牲部分票息以增加提前敲出的概率
为了增加雪球结构提前敲出赎回的概率，一种常见的做法就是设置阶梯型下降的敲出门槛（Step Down），随着敲出门槛的下降，产品触发赎回的概率增加，投资者亏损离场的概率随之降低。仍旧使用本文的案例，若设置每过120日（一个季度），敲出价格都降低1%，那么每个季度末的敲出水平分别为103%，102%，101%和100%。
还有部分产品设置了逃生舱结构，从而提高产品保本的概率。逃生舱产品通常有一个预设观察期，如果产品在观察期没有出现敲入，无论资产价格是否在此区间达到敲出水平产品，在预设期末雪球产品自动赎回，客户可以获得票息收益；若在预设观察期内产品触发了敲入且没有敲出，需要在后续的存续期内继续观察标的价格的走势。对于在预设期内没有触发敲入，但是在预设观察期外触发敲入且未敲出的情形，持有逃生舱结构的投资者仍可以获取票息收益，但是在同样的情形下普通雪球的投资者将亏损离场。
4.2
挂钩资产由单资产替换为一篮子标的
普通雪球结构的标的资产为个股或者股票指数，目前的一种创新模式是将单个的标的资产修改为一篮子标的，从而维持较低的敲入门槛以及较高的票息。进化的敲出观察结构（Darwin）就是将一篮子标的作为挂钩资产，但是观察的标的会动态调整，随着产品剩余到期时间的缩短，敲出观察标的从最差过渡到平均最后变为最佳标的，这与阶梯型雪球产品的模式异曲同工，不同的是阶梯型雪球是采取降低敲出门槛的方式提高敲出概率，进化的敲出观察结构则逐步使用预期收益率较高的资产作为敲出观察对象，从而降低投资者的亏损风险。
类似的结构还有观察最佳标的产品（Best in Basket），即产品存续期间是否敲入和敲出均观察篮子中的最佳标的（表现最优的股票），当表现最佳标的敲出时，客户获得票息，这类产品提供了额外的敲出机会，票息相对较低；与之相对的结构是观察最差标的产品（Worst of Basket），即产品存续期间是否敲入和敲出均观察篮子中的最差标的（表现最弱的股票），当表现最差标的敲出时，客户获得票息，由于最差标的的敲出难度较大，所以此类产品通常能提供较高的票息。
4.3
设置产品亏损后的处理条款
若产品在存续期内触发敲入且未敲出，普通雪球结构的投资者到期时亏损离场，为了降低投资者的亏损，很多雪球结构都在此基础上设置了产品发生亏损后的处理条款。部分雪球产品里面会添加指数增强转换条款，若在产品到期时敲入但是未敲出，客户可以选择亏损离场，也可以选择以时间换空间，接受转换为指数增强产品，等待标的资产反弹后再退出；也有一些雪球结构会设置投资者的最大亏损幅度，从而锁定投资者的亏损风险。
5、总结
本报告为场外期权系列报告的第五篇，介绍了近期市场关注度极高的雪球结构。报告的第一部分介绍了雪球结构产品模式，并采用情景分析的形式展示雪球产品在不同情形下的收益结构；第二部分是雪球结构定价方法的详细介绍，我们将复杂的雪球结构拆解为相对简单的障碍期权组合，并分别使用有限差分法和蒙特卡罗模拟进行定价，两种方法的定价结果相差较小；接着我们站在投资者的角度，对什么样的市场环境更适合投资雪球结构进行了分析，并探究了雪球高票息背后的原因；第四部分简单介绍了雪球产品的部分创新模式。
本篇报告依循品种介绍到定价方法，再到是否值得投资的脉络依次展开，由浅入深并结合案例进行分析，对雪球结构进行了全面的讨论，希望能为投资者提供部分参考。
风险提示：本报告基于公开资料的统计和整理，不构成投资建议。
相
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报
告
《场外期权系列之一：国内外场外期权的发展、现状和主要产品》
《场外期权系列之二：二元期权及其理财产品》
《场外期权系列之三：价差期权及其理财产品》
《场外期权系列之四：鲨鱼鳍期权及其理财产品》
注：文中报告节选自兴业证券经济与金融研究院已公开发布研究报告，具体报告内容及相关风险提示等详见完整版报告。
证券研究报告：《【兴证金工】场外期权系列之五：如何对雪球结构定价？》
对外发布时间：2021年6月28日
报告发布机构：兴业证券股份有限公司（已获中国证监会许可的证券投资咨询业务资格）
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分析师：
徐寅
SAC执业证书编号：S0190514070004
刘海燕
SAC执业证书编号：S0190520080002
宫民
SAC执业证书编号：S0190521040001