猜你不会：“等价无穷小”的精准替换

作者✏章鱼烧

     编辑✂章鱼烧

各位同学大家好，

高频错题到这周已经出了3期

章鱼烧在大家的留言和其他平台的评论中发现，还有许多小伙伴对于知识的理解不够透彻，所以今天出这期专门给大家答疑。

答疑助教章鱼烧开始上班！

题目

大家没看过之前文章的可以先点下面的文章去看经典错误和解法哦！

答疑环节

Q1

不理解为什么不能对底数进行等价替换？

A1

我们知道

那么是否有

这是无法得到的，原因在于进行了无穷多次等价代换，这是不被允许的！

经典错误1:无穷多次等价代换是经典的错误。

这里还会有同学有疑惑，这里是等于e呀，并不是等价代换呀，章鱼烧举个例子给大家说明：

那么是否

相信大家马上就能说出来这是错的，这结果显然等于e而不是1，出错的原因正是进行了无穷多次等价代换。

Q2

在举一反三中的练习题中，如果题目中没有e的负x次方，是不是就可以直接对底数进行等价无穷小代换了？

A2

上面给大家详细解释了为什么不能对底数进行等价代换，因为这是无穷多次等价，所以就算没有e的负x次方，也不能等价代换哦。

需要说明的是，我们上面一直说的都是无穷多次等价是错的，但有限次的等价是对的哦（如下图）！

Q3

经典题目正解中，改写成e指数后，为什么不能直接对ln(1+1/x)进行等价代换，只能使用泰勒公式？

A3

部分同学对等价代换的理解不到位，章鱼烧再给大家仔细讲解一下：

  这个等价代换想必大家都知道，那大家思考一下下面这个等价代换对吗？

这是对的！这里就是当x→0时，将ln(1+x)等价为x。

或许就有同学问：为什么这里可以，而在经典错题里不行呢？

不急，大家再判断一下，这个等价代换对不对呢？

这里大家可能就迷惑了，

为什么啊？

凭啥e可以！

是我1+x不配了咯？

需要告诉大家的是，

经典错误2:直接对指数进行等价代换！

严格的证明不在考研要求内，所以大家需要记住这个点。

它的正确过程如下：

e指数为什么可以等价？

那为什么我们经常对e指数上做等价代换呢，最关键的地方是：e指数的极限可以把极限号放到指数上。

这才是它完整的过程，相信看到这里，大家一定对于等价代换有了更深的理解。

有了上面的基础，我们再回看，

为什么这道高频错题里，没法对e指数做等价代换呢？

原因在于，这里极限并不单单只是e指数，还带有了3^n，所以我们没法把极限号放到e的指数上，也就不能等价代换。

本期解答结束，章鱼烧希望通过这样的解答形式能解决同学们最核心的困惑！

如果大家觉得章鱼烧的答疑有帮到你的话，希望可以在右下角多多点赞，你们的点赞就是我最大的动力！

本生产队的驴这就去更新后续问答（呜呜）。