高频错题第四弹——函数与原函数

作者✏章鱼烧

     编辑✂章鱼烧

小伙伴们晚上好！

章鱼烧来给大家更新「高频错题」了

五一假期的你，做题了嘛！

高频错题

经典题目

题目来源

《660题数学一》第176题

经典错误1

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出错原因

连续函数存在原函数，这是个充分不必要条件，f(x)存在原函数并不能说明f(x)连续。

实际上，存在振荡间断点的情况下，原函数也是可能存在的。

这里给出来大家具体的例子进行说明

显然这里的f(x)在x=0处不连续(为振荡间断点），所以B错。

经典错误2

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出错原因

f(x)在(a,b)上存在原函数，这里f(x)是可以为非初等函数的，举个最简单的符号函数的例子：

它在R上不存在原函数，但是当所取区间不包含间断点时：例如区间为(1,2)，它是存在原函数的。

事实上，部分初等函数的原函数，也会存在不是初等函数的情形。

这里它的原函数就不再是初等函数了。

正确思路

因为F(x)是f(x)在(a,b)上的一个原函数

所以必定有F'(x)=f(x)

因此F(x)在(a,b)上连续（可导一定连续）

F(x)在(a,b)上存在原函数（原函数存在定理）

从而F(x)+f(x)在(a,b)上存在原函数

答案为选择C选项

提醒

f(x)在(a,b)上存在原函数F(x)

 在(a,b)上

1

f(x)不一定连续

2

f(x)不一定是初等函数

3

F(x)不一定是初等函数

4

由原函数定义,F'(x)=f(x),故F(x)连续

对于本期的知识还有哪里存在问题呢？

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