高频错题第四弹——函数与原函数
考研可爱因子
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作者✏章鱼烧
编辑✂章鱼烧
高频错题
经典题目
题目来源
《660题数学一》第176题
经典错误1
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出错原因
连续函数存在原函数，这是个充分不必要条件，f(x)存在原函数并不能说明f(x)连续。
实际上，存在振荡间断点的情况下，原函数也是可能存在的。
这里给出来大家具体的例子进行说明
显然这里的f(x)在x=0处不连续(为振荡间断点），所以B错。
经典错误2
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出错原因
f(x)在(a,b)上存在原函数，这里f(x)是可以为非初等函数的，举个最简单的符号函数的例子：
它在R上不存在原函数，但是当所取区间不包含间断点时：例如区间为(1,2)，它是存在原函数的。
事实上，部分初等函数的原函数，也会存在不是初等函数的情形。
这里它的原函数就不再是初等函数了。
正确思路
因为F(x)是f(x)在(a,b)上的一个原函数
所以必定有F'(x)=f(x)
因此F(x)在(a,b)上连续（可导一定连续）
F(x)在(a,b)上存在原函数（原函数存在定理）
从而F(x)+f(x)在(a,b)上存在原函数
答案为选择C选项
提醒
f(x)在(a,b)上存在原函数F(x)
在(a,b)上
1
f(x)不一定连续
2
f(x)不一定是初等函数
3
F(x)不一定是初等函数
4
由原函数定义,F'(x)=f(x),故F(x)连续
对于本期的知识还有哪里存在问题呢？
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